Coeficientes Descontínuos. Muitas vezes aparecem equações diferenciais lineares com uma ou ambas as funções p e g contendo descontinuidades do tipo salto. Se x0 é um ponto de descontinuidade, então é preciso resolver
a equação separadamente para x<x0 e x>x0. Depois as duas soluções podem ser combinadas de modo a y ser contínua em x0; isso é feito através de uma escolha apropriada das constantes. Resolva o PVI.
y^prime+2 y=g(x), y(0)=0
onde
g(x)=lc 1, & 0 <= x <= 1 0, & x>1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo y' + 2y = g(x) com uma condição inicial y(0) = 0 . A função g(x) muda de valor em x = 1 , então precisamos resolver essa equação em dois intervalos: de x < 1 e x > 1 . Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares e garantir que a solução seja contínua em x = 1 .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver para 0 <= x <= 1 , onde g(x) = 1 . A equação fica:
y' + 2y = 1
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante é e^integral 2 dx = e^2x .
Multiplicamos toda a equação por e^2x :
e^2x y' + 2 e^2x y = e^2x cdot 1
Isso simplifica para:
ddx(e^2x y) = e^2x
Integrando ambos os lados:
e^2x y = 12 e^2x + C
Dividindo por e^2x :
y = 12 + C e^-2x
Agora aplicamos a condição inicial y(0) = 0 :
0 = 12 + C cdot 1 Rightarrow C = -12
Então, a solução para 0 <= x <= 1 é:
y = 12 - 12 e^-2x

Passo 3

Agora, vamos resolver para x > 1 , onde g(x) = 0 . A equação fica:
y' + 2y = 0
Essa é uma equação homogênea, cuja solução geral é:
y = K e^-2x
Onde K é uma constante que vamos determinar.

Passo 4

Precisamos garantir que a solução seja contínua em x = 1 . Ou seja, o valor de y para x <= 1 deve ser igual ao valor de y para x > 1 em x = 1 .
Calculando y para x = 1 na primeira solução:
y(1) = 12 - 12 e^-2 cdot 1 = 12 - 12 e^-2
Agora, igualamos isso à solução para x > 1 em x = 1 :
12 - 12 e^-2 = K e^-2 cdot 1 Rightarrow K = 12 - 12 e^-2

Passo 5

Com o valor de K encontrado, a solução para x > 1 fica:
y = ( 12 - 12 e^-2 ) e^-2x

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 12 ( 1 - e^-2x ), & 0 <= x <= 1 ( 12 - 12 e^-2 ) e^-2x, & x > 1

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