Coeficientes Descontínuos. Muitas vezes aparecem equações diferenciais lineares com uma ou ambas as funções e contendo descontinuidades do tipo salto. Se é um ponto de descontinuidade, então é preciso resolver
a equação separadamente para e . Depois as duas soluções podem ser combinadas de modo a ser contínua em ; isso é feito através de uma escolha apropriada das constantes. Resolva o PVI.
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo y' + 2y = g(x) com uma condição inicial y(0) = 0 . A função g(x) muda de valor em x = 1 , então precisamos resolver essa equação em dois intervalos: de x < 1 e x > 1 . Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares e garantir que a solução seja contínua em x = 1 .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver para 0 <= x <= 1 , onde g(x) = 1 . A equação fica:
y' + 2y = 1
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante é e^integral 2 dx = e^2x .
Multiplicamos toda a equação por e^2x :
e^2x y' + 2 e^2x y = e^2x cdot 1
Isso simplifica para:
ddx(e^2x y) = e^2x
Integrando ambos os lados:
e^2x y = 12 e^2x + C
Dividindo por e^2x :
y = 12 + C e^-2x
Agora aplicamos a condição inicial y(0) = 0 :
0 = 12 + C cdot 1 Rightarrow C = -12
Então, a solução para 0 <= x <= 1 é:
y = 12 - 12 e^-2x
Passo 3
Agora, vamos resolver para x > 1 , onde g(x) = 0 . A equação fica:
y' + 2y = 0
Essa é uma equação homogênea, cuja solução geral é:
y = K e^-2x
Onde K é uma constante que vamos determinar.
Passo 4
Precisamos garantir que a solução seja contínua em x = 1 . Ou seja, o valor de y para x <= 1 deve ser igual ao valor de y para x > 1 em x = 1 .
Calculando y para x = 1 na primeira solução:
y(1) = 12 - 12 e^-2 cdot 1 = 12 - 12 e^-2
Agora, igualamos isso à solução para x > 1 em x = 1 :
12 - 12 e^-2 = K e^-2 cdot 1 Rightarrow K = 12 - 12 e^-2
Passo 5
Com o valor de K encontrado, a solução para x > 1 fica: