Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 18^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty 18^n é convergente ou divergente. Isso está ligado ao estudo de séries geométricas. Vamos precisar entender o que é uma série geométrica e qual é a condição para ela convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é realmente uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
onde:
  • a é o primeiro termo,
  • r é a razão da série.
No nosso caso, temos:
sumn=1^infty 18^n
Podemos reescrever 18^n como (18)^n , então nossa série fica:
sumn=1^infty (18)^n
Comparando com a forma geral, vemos que a = (18)^1 = 18 e r = 18.

Passo 3

Agora que identificamos que nossa série é uma série geométrica com razão r = 18 , precisamos saber quando uma série geométrica converge. A regra é:
  • Se |r| < 1, a série converge.
  • Se |r| >= 1, a série diverge.
Isso acontece porque, com |r| < 1 , os termos vão diminuindo cada vez mais, aproximando-se de zero, o que faz a soma da série se estabilizar num número finito.

Passo 4

Vamos verificar a condição para nossa série:
|r| = |18| = 18 < 1
Como 18 é menor que 1, a condição para convergência está satisfeita.

Passo 5

Portanto, a série sumn=1^infty 18^n é uma série geométrica convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty 18^n é convergente.

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