(Coeficientes à Determinar ) Use o método dos Coeficientes à Determinar para obter a solução geral das equações e, quando for o caso, obter a solução dos problemas de valores inicial.
y^prime prime+y=cos t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não‐homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
y''+y=cos t
Conteúdo: equação diferencial linear de 2ª ordem. Método: coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea associada
y''+y=0
A equação característica é
r^2+1=0
cuja solução é
r=pm i
Portanto a solução homogênea é
yh(t)=C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para obter uma solução particular observamos que o termo forçante cos t já aparece na homogênea. Então multiplicamos o palpite padrão por t. Assumimos
yp(t)=tl(Acos t + Bsin tr)

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'&=Acos t - A tsin t + Bsin t + B tcos t, yp''&=-2Asin t - A tcos t +2Bcos t - B tsin t
Substituindo em y''+y=cos t obtemos
yp''+yp = (-2Asin t +2Bcos t)=cos t

Passo 5

Igualando coeficientes em -2Asin t +2Bcos t=cos t temos
-2A=0Rightarrow A=0,
2B=1Rightarrow B=12
Logo
yp(t)=12,tsin t .

Passo 6

A solução geral da equação não‐homogênea é a soma
y(t)=yh(t)+yp(t)=C1cos t + C2sin t + 12,tsin t

Resposta

y(t)=C1cos t + C2sin t + tfrac12,tsin t

Exercícios relacionados