Use resíduos para provar que as integrais abaixo convergem para os valores indicados. Considere .
Passo 1
A questão pede para mostrar que . O conteúdo principal é o uso de resíduos de funções de variável complexa para avaliar integrais impróprias reais. Vamos precisar definir uma função meromorfa adequada, escolher um contorno no semiplano superior e usar o Teorema dos Resíduos junto com a simetria e o fato de que o arco de raio contribui com zero quando .
Passo 2
Para aplicar o Teorema dos Resíduos, consideramos a função complexa . Os polos de são soluções de e , isto é, e . No semiplano superior ficam e . Precisamos calcular as respectivas resistências.
Vamos montar um contorno composto pela reta de a sobre o eixo real e pelo semicírculo de raio no semiplano . O Teorema dos Resíduos diz que
Como para , o integral sobre tende a zero (Lema de Jordan). Assim,
Passo 3
Vamos achar as resistências. Primeiro em z=i. Como (z-i) é fator simples de (z^2+1)=(z-i)(z+i),