EquaçÔes de Segunda Ordem. Nos problemas a seguir, encontre a solução geral da equação diferencial ordinåria dada.
Passo 1
Nesta questão temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes:
. O conteúdo envolve resolver EDOs de 2ª ordem usando equações características e exponenciais. Vamos precisar montar a equação característica associada e encontrar suas raízes.
Passo 2
Substituindo
na EDO, cada derivada vira um fator de
multiplicando
. Fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Para resolver
, usamos a fórmula de Bhaskara. Primeiro calculamos o discriminante:
Depois,
Logo, as raízes são
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada pela combinação linear de expoenciais:
Substituindo os valores encontrados,
Resposta
y(x) = C_1 e^{x/2} + C_2 e^{-2x/3}