EquaçÔes de Segunda Ordem. Nos problemas a seguir, encontre a solução geral da equação diferencial ordinåria dada.
6 y^prime prime+y^prime-2 y=0

Passo 1

Nesta questão temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes: 6y'' + y' - 2y = 0. O conteúdo envolve resolver EDOs de 2ª ordem usando equações características e exponenciais. Vamos precisar montar a equação característica associada e encontrar suas raízes.

Passo 2

Substituindo y = e^rx na EDO, cada derivada vira um fator de r multiplicando e^rx. Fatorando e^rx (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
6r^2 + r - 2 = 0

Passo 3

Para resolver 6r^2 + r - 2 = 0, usamos a fórmula de Bhaskara. Primeiro calculamos o discriminante:
De
Depois,
r = -1 pm raiz492 cdot 6 = -1 pm 712
Logo, as raízes são
r1 = -1 + 712 = 12, r2 = -1 - 712 = -23

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada pela combinação linear de expoenciais:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Substituindo os valores encontrados,
y(x) = C1 e^12 x + C2 e^-23 x

Resposta

y(x) = C_1 e^{x/2} + C_2 e^{-2x/3}

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