(Coeficientes à Determinar ) Use o método dos Coeficientes à Determinar para obter a solução geral das equações e, quando for o caso, obter a solução dos problemas de valores inicial.
\left{ ly^prime prime+y^prime-2 y=2 t, y(0)=0, y^prime(0)=1,\right.)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial não homogênea de segunda ordem y'' + y' -2y = 2t com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar a solução geral e depois impor as condições.

Passo 2

Resolução da parte homogênea: consideramos a equação y'' + y' -2y =0. A equação característica associada é r^2 + r -2 = 0, cujas raízes são r=1 e r=-2. Assim, a solução geral da homogênea é yh(t)=C1e^t +C2e^-2t.

Passo 3

Determinação da solução particular: como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 ( 2t), fazemos o palpite yp(t)=At+B. Calculamos suas derivadas: yp'=A e yp''=0.

Passo 4

Substituição na equação original: colocando yp em y''+y'-2y=2t obtemos
0 + A -2(At+B) = 2t
Isso leva a
-2A,t + (A -2B) = 2t + 0
Igualando coeficientes de t e termo constante:
-2A = 2 implica A=-1,
A -2B = 0 implica -1 -2B=0 e portanto B=-tfrac12.

Passo 5

Solução geral da EDO não homogênea: combinando homogênea e particular, temos
y(t)=C1e^t + C2e^-2t - t - tfrac12

Passo 6

Aplicação das condições iniciais: calculamos y(0)=C1 + C2 -tfrac12 = 0 e y'(t)=C1e^t -2C2e^-2t -1, logo y'(0)=C1 -2C2 -1 =1. Isso gera o sistema
C1 + C2 = tfrac12, C1 -2C2 = 2
Resolvendo, achamos C1=1 e C2=-tfrac12.

Resposta

y(t) = e^t - tfrac12e^-2t - t - tfrac12

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