(Coeficientes à Determinar ) Use o método dos Coeficientes à Determinar para obter a solução geral das equações e, quando for o caso, obter a solução dos problemas de valores inicial.
\left{
\right.)
\left{
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
com condições iniciais
e
. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar a solução geral e depois impor as condições.
Passo 2
Resolução da parte homogênea: consideramos a equação
. A equação característica associada é
, cujas raízes são
e
. Assim, a solução geral da homogênea é
.
Passo 3
Determinação da solução particular: como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 (
), fazemos o palpite
. Calculamos suas derivadas:
e
.
Passo 4
Substituição na equação original: colocando
em
obtemos
Isso leva a
Igualando coeficientes de
e termo constante:
implica
,
implica
e portanto
.
Passo 5
Solução geral da EDO não homogênea: combinando homogênea e particular, temos
Passo 6
Aplicação das condições iniciais: calculamos
e
, logo
. Isso gera o sistema
Resolvendo, achamos