Use, se possível, a Regra de L’Hospital para calcular os limites abaixo:

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa calcular o limite limxtoinfty lnl(1+tfrac10xr)1/x. O conteúdo é de limites de funções e, em particular, a Regra de L’Hospital — que serve pra resolver limites que dão indeterminação do tipo 0/0 ou infty/infty.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o comportamento das duas partes quando xtoinfty:
  • lnl(1+tfrac10xr)toln(1)=0.
  • 1/xto0.
    Logo, temos a forma indeterminada 0/0, então podemos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Pela Regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
ddxlnl(1+10xr) =11+tfrac10xcdotl(-10x^2r) =-10x^2l(1+tfrac10xr)
ddxl(1xr) =-1x^2

Passo 4

Agora substituímos no limite:
limxtoinftylnl(1+tfrac10xr)1/x =limxtoinfty-tfrac10x^2l(1+tfrac10xr)-tfrac1x^2 =limxtoinfty101+tfrac10x =10

Passo 5

Pronto! A gente simplificou e chegou ao valor do limite.

Resposta

10

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