Os coelhos são conhecidos por se reproduzirem rápida e eficientemente na natureza, visto que são presas naturais, os coelhos se reproduzem de forma exponencial para manter a espécie viva. O coelho-europeu foi introduzido na Austrália, no século XIX e, por não terem predador natural naquele país, a multiplicação dos coelhos atingiu niveis muito elevados e se transformou num problema prejudicando bastante a agricultura.
Em certa região da Austrália, a população de coelhos era dada pela função
\mathrm{P}=1000 \cdot 2^{0,4 \mathrm{t}}, em que t é o tempo medido em anos, com \mathrm{t}=0 representando o ano 1840. A população de coelhos nessa região atingirá 64.000 individuos no ano
a) 1855 .
b) 1860 .
c) 1865 .
d) 1870 .
e) 1875 .

Passo 1

O enunciado nos dá o modelo de crescimento exponencial da população de coelhos
P(t) = 1000 \cdot 2^{0,4t},
onde t é o número de anos desde 1840, e pede em que ano essa população atinge 64\,000 indivíduos.

Passo 2

Para encontrar t tal que P(t)=64\,000, montamos a equação
1000 \cdot 2^{0,4t} = 64\,000
e dividimos ambos os lados por 1000:
2^{0,4t} = \frac{64\,000}{1000} = 64.

Passo 3

Reconhecemos que 64 é potência de 2, pois
64 = 2^6.
Logo, igualando expoentes:
0,4t = 6 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{6}{0,4} = 15.

Passo 4

Como t=0 corresponde a 1840, o ano em que a população atinge 64\,000 é
1840 + 15 = 1855.

Resposta

a) 1855.

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