Em uma região litorânea estão sendo construidos edificios residenciais. Um biólogo prevê que a quantidade de pássaros de certa espécie irá diminuir segundo a lei \mathrm{n}(\mathrm{t})=\mathrm{n}(0) \cdot 4^{-\frac{\mathrm{t}}{3}}, em que \mathrm{n}(0) é a quantidade estimada de pássaros antes do início das construções e n(t) é a quantidade existente t anos depois.
Qual é o tempo necessário, desde o início das construções, para que a população de pássaros dessa espécie se reduza à 1 / 8 da população existente no início das construções?
a) 3 anos
b) 3,5 anos
c) 4 anos
d) 4,5 anos
e) 5 anos

Passo 1

O enunciado dá a lei de decaimento exponencial
\mathrm{n}(t)=\mathrm{n}(0)\cdot 4^{-\frac{t}{3}}
e pergunta em que t teremos \mathrm{n}(t)=\tfrac{1}{8}\,\mathrm{n}(0). Vamos usar propriedades de potências para resolver.

Passo 2

Impondo
\mathrm{n}(t)=\tfrac{1}{8}\,\mathrm{n}(0)
e dividindo por \mathrm{n}(0), fica
4^{-\frac{t}{3}} = \frac{1}{8}.

Passo 3

Reescrevendo 4=2^2 e \tfrac18=2^{-3}, a equação vira
(2^2)^{-\frac{t}{3}} = 2^{-3} \quad\Longrightarrow\quad 2^{-\frac{2t}{3}} = 2^{-3}.

Passo 4

Igualando os expoentes das bases iguais,
-\frac{2t}{3} = -3 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{3\cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5.

Resposta

4{,}5 anos (alternativa (d)).

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