Um cofre eletrônico utiliza um código de três algarismos distintos, em ordem crescente, escolhidos entre 2 e 9. A soma dos algarismos é 15 e o produto é 72 . Qual é o código?
A) 248
C) 278
D) 357

Passo 1

Resumindo: buscamos três dígitos distintos a<b<c em \{2,3,\dots,9\} tais que
a+b+c=15
e
a\cdot b\cdot c=72.

Passo 2

Observe que
72 = 2^3\cdot 3^2.
Logo os dígitos a,b,c são divisores de 72 entre 2 e 9.

Passo 3

Listamos as possíveis decomposições de 72 em três fatores inteiros positivos (ignorando ordem e repetições fora de \{2,\dots,9\}):
(2,4,9),\quad (2,6,6),\quad (3,3,8),\quad (3,4,6),\dots
Descartamos aquelas com repetição de dígitos iguais ou que saem do intervalo.

Passo 4

Destas, só (2,4,9) tem soma
2+4+9 = 15,
além de satisfazer 2\cdot4\cdot9=72 e 2<4<9.

Resposta

O código é 249.

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