Um cofre possui um disco com os dígitos de 0 a 9 . O segredo é formado por uma sequência de 4 dígitos. Quantas senhas existem se soubermos que o primeiro dígito não pode ser zero e que repetições são permitidas?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado diz e o que ele pede.
  • O disco tem os dígitos de \,0 a \,9.
  • O segredo é uma sequência de quatro dígitos (ou seja, uma senha de 4 posições, onde a ordem importa).
  • Condição importante: o primeiro dígito não pode ser \,0.
  • Condição adicional: repetições são permitidas (um dígito pode aparecer mais de uma vez).
O que o enunciado pede: quantas senhas diferentes de 4 dígitos satisfazem essas condições?

Passo 2

Conceito que vamos usar: princípio fundamental da contagem (ou regra do produto).
  • Se um procedimento é formado por etapas independentes e a etapa 1 pode ser realizada de c_1 maneiras, a etapa 2 de c_2 maneiras, …, a etapa k de c_k maneiras, então o número total de procedimentos possíveis é
\prod_{i=1}^{k} c_i = c_1\cdot c_2\cdot\ldots\cdot c_k.
  • Explicação intuitiva: para cada escolha da etapa 1 existem c_2 escolhas da etapa 2, logo multiplicamos. Exemplo simples: se há 2 opções para primeiro dígito e 3 para segundo, então há 2\cdot3=6 códigos de dois dígitos.
No nosso caso, cada posição da senha é uma etapa, e as escolhas em uma posição não afetam as escolhas nas outras (exceto a restrição do primeiro dígito).

Passo 3

Contar as opções para a primeira posição (primeiro dígito).
  • Os dígitos disponíveis são \,0,1,2,\dots,9, mas o primeiro não pode ser \,0.
  • Portanto as opções possíveis para o primeiro dígito são \,1,2,\dots,9, totalizando
\text{opções para a posição 1} = 9.çõçã

Passo 4

Contar as opções para as posições 2, 3 e 4 (segundo, terceiro e quarto dígitos).
  • Como repetições são permitidas, em cada uma dessas posições qualquer um dos \,10 dígitos ( 0 a 9) pode aparecer, independentemente das outras posições.
  • Logo
\text{opções para a posição 2} = \text{opções para a posição 3} = \text{opções para a posição 4} = 10.çõçãçõçãçõçã

Passo 5

Aplicar o princípio da contagem multiplicando as opções de cada posição.
  • Usando a regra do produto:
\text{total de senhas} = 9\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 9\cdot 10^{3}.
  • Calculando passo a passo:
9\cdot 10 = 90,\qquad 90\cdot 10 = 900,\qquad 900\cdot 10 = 9000.
  • Portanto o número total de senhas possíveis é \,9000.
Opção alternativa (mesma conta, outro raciocínio rápido):
  • Total de sequências de 4 dígitos sem restrição: 10^{4}=10000.
  • Dessas, as que começam com 0 têm 10^{3}=1000 possibilidades (porque as 3 posições seguintes têm 10 opções cada).
  • Subtraindo: 10000-1000=9000. Mesmo resultado.

Passo 6

Comentário prático e dica para a prova (estou torcendo por você!):
  • Sempre identifique cada posição como uma etapa e conte as opções válidas por etapa; depois multiplique.
  • Se houver uma restrição apenas em algumas posições, trate cada posição separadamente (como fizemos).
  • Exemplo extra: se as repetições não fossem permitidas, aí para a primeira posição teríamos 9 opções, para a segunda 9 (não poderia repetir o escolhido na primeira nem usar 0 se não tivesse sido usado), e assim por diante — aí a conta muda e precisa ser feita com cuidado.
Força aí — dá pra fazer!

Resposta

9000

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