Um cofre possui um disco com os dígitos de 0 a 9 . O segredo é formado por uma sequência de 4 dígitos. Quantas senhas existem se soubermos que o primeiro dígito não pode ser zero e que repetições são permitidas?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado diz e o que ele pede.
- O disco tem os dígitos de
a . - O segredo é uma sequência de quatro dígitos (ou seja, uma senha de 4 posições, onde a ordem importa).
- Condição importante: o primeiro dígito não pode ser
. - Condição adicional: repetições são permitidas (um dígito pode aparecer mais de uma vez).
O que o enunciado pede: quantas senhas diferentes de 4 dígitos satisfazem essas condições?
Passo 2
Conceito que vamos usar: princípio fundamental da contagem (ou regra do produto).
- Se um procedimento é formado por etapas independentes e a etapa
pode ser realizada de maneiras, a etapa de maneiras, …, a etapa de maneiras, então o número total de procedimentos possíveis é
- Explicação intuitiva: para cada escolha da etapa 1 existem
escolhas da etapa 2, logo multiplicamos. Exemplo simples: se há 2 opções para primeiro dígito e 3 para segundo, então há códigos de dois dígitos.
No nosso caso, cada posição da senha é uma etapa, e as escolhas em uma posição não afetam as escolhas nas outras (exceto a restrição do primeiro dígito).
Passo 3
Contar as opções para a primeira posição (primeiro dígito).
- Os dígitos disponíveis são
, mas o primeiro não pode ser . - Portanto as opções possíveis para o primeiro dígito são
, totalizando
Passo 4
Contar as opções para as posições 2, 3 e 4 (segundo, terceiro e quarto dígitos).
- Como repetições são permitidas, em cada uma dessas posições qualquer um dos
dígitos ( a ) pode aparecer, independentemente das outras posições. - Logo
Passo 5
Aplicar o princípio da contagem multiplicando as opções de cada posição.
- Usando a regra do produto:
- Calculando passo a passo:
- Portanto o número total de senhas possíveis é
.
Opção alternativa (mesma conta, outro raciocínio rápido):
- Total de sequências de 4 dígitos sem restrição:
. - Dessas, as que começam com
têm possibilidades (porque as 3 posições seguintes têm opções cada). - Subtraindo:
. Mesmo resultado.
Passo 6
Comentário prático e dica para a prova (estou torcendo por você!):
- Sempre identifique cada posição como uma etapa e conte as opções válidas por etapa; depois multiplique.
- Se houver uma restrição apenas em algumas posições, trate cada posição separadamente (como fizemos).
- Exemplo extra: se as repetições não fossem permitidas, aí para a primeira posição teríamos
opções, para a segunda (não poderia repetir o escolhido na primeira nem usar se não tivesse sido usado), e assim por diante — aí a conta muda e precisa ser feita com cuidado.
Força aí — dá pra fazer!
Resposta
9000