Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos podem ser formados utilizando os algarismos \{1,2,3,4,5,6,7\} ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos números ímpares de 3 algarismos distintos podem ser formados usando apenas os algarismos \{1,2,3,4,5,6,7\}.
Informações e restrições dadas:
  • Os algarismos disponíveis são \{1,2,3,4,5,6,7\} (total de 7 algarismos).
  • O número deve ter exatamente 3 algarismos (ou seja, a posição das centenas não pode ser zero — mas 0 não está entre os algarismos disponíveis, então não precisamos nos preocupar com zeros).
  • Todos os algarismos do número devem ser distintos (sem repetição).
  • O número deve ser ímpar (portanto o algarismo das unidades tem que ser ímpar).
  • Pergunta final: quantos números satisfazem todas essas condições?

Passo 2

Identificar quais algarismos possíveis para a unidade (posição das unidades) — porque a paridade do número depende dessa posição.
Na lista \{1,2,3,4,5,6,7\} os algarismos ímpares são \{1,3,5,7\}. Ou seja, há exatamente 4 escolhas possíveis para o algarismo das unidades.
Vou denotar:
  • U = número de escolhas para a unidade,
  • C = número de escolhas para a centena,
  • T = número de escolhas para a dezena.
Até agora encontramos U=4.

Passo 3

Depois de escolher o algarismo das unidades (um dos 4 ímpares), restam 6 algarismos disponíveis para preencher as outras duas posições, porque não é permitida repetição e o algarismo escolhido para a unidade não pode ser usado novamente.
Portanto, para a centena (posição das centenas) temos 6 opções. Escrevendo:
C=6.
Explicação curta: do total de 7 algarismos, um já foi usado na unidade, sobrando 7-1=6 para escolher a centena.

Passo 4

Depois de escolher a centena (uma dentre as 6 restantes), sobraram exatamente 5 algarismos não usados para ocupar a posição da dezena (não pode repetir nem o da unidade nem o da centena). Então:
T=5.

Passo 5

Como as escolhas para unidades, centenas e dezenas são independentes na sequência de preenchimento (escolhe-se a unidade primeiro para garantir imparidade, depois centenas e depois dezenas, respeitando a não repetição), o número total de números possíveis é o produto das opções para cada posição:
\text{Total} = U \times C \times T.
Substituindo os valores que achamos:
\text{Total} = 4 \times 6 \times 5.

Passo 6

Calcular o produto de forma simples e explicada:
4 \times 6 = 24,
24 \times 5 = 120.
Portanto o total de números ímpares de 3 algarismos distintos formáveis com \{1,2,3,4,5,6,7\} é 120.

Resposta

120

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