Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos podem ser formados utilizando os algarismos
?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos números ímpares de 3 algarismos distintos podem ser formados usando apenas os algarismos
.
Informações e restrições dadas:
- Os algarismos disponíveis são
(total de algarismos). - O número deve ter exatamente
algarismos (ou seja, a posição das centenas não pode ser zero — mas não está entre os algarismos disponíveis, então não precisamos nos preocupar com zeros). - Todos os algarismos do número devem ser distintos (sem repetição).
- O número deve ser ímpar (portanto o algarismo das unidades tem que ser ímpar).
- Pergunta final: quantos números satisfazem todas essas condições?
Passo 2
Identificar quais algarismos possíveis para a unidade (posição das unidades) — porque a paridade do número depende dessa posição.
Na lista
os algarismos ímpares são
. Ou seja, há exatamente
escolhas possíveis para o algarismo das unidades.
Vou denotar:
-
= número de escolhas para a unidade, -
= número de escolhas para a centena, -
= número de escolhas para a dezena.
Até agora encontramos
.
Passo 3
Depois de escolher o algarismo das unidades (um dos
ímpares), restam
algarismos disponíveis para preencher as outras duas posições, porque não é permitida repetição e o algarismo escolhido para a unidade não pode ser usado novamente.
Portanto, para a centena (posição das centenas) temos
opções. Escrevendo:
Explicação curta: do total de
algarismos, um já foi usado na unidade, sobrando
para escolher a centena.
Passo 4
Depois de escolher a centena (uma dentre as
restantes), sobraram exatamente
algarismos não usados para ocupar a posição da dezena (não pode repetir nem o da unidade nem o da centena). Então:
Passo 5
Como as escolhas para unidades, centenas e dezenas são independentes na sequência de preenchimento (escolhe-se a unidade primeiro para garantir imparidade, depois centenas e depois dezenas, respeitando a não repetição), o número total de números possíveis é o produto das opções para cada posição:
Substituindo os valores que achamos:
Passo 6
Calcular o produto de forma simples e explicada:
Portanto o total de números ímpares de
algarismos distintos formáveis com
é
.
Resposta
120