Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2, \ldots, 9. O segredo do cofre é formado por uma sequência de 3 dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? (Suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Há um disco com os dígitos 0,1,2,\ldots,9.
  • O segredo do cofre é uma sequência de 3 dígitos.
  • Os dígitos na sequência são todos distintos (ou seja, não se repete dígito).
  • Pergunta: no pior caso (para garantir abrir o cofre), quantas tentativas distintas a pessoa deverá fazer, no máximo?

Passo 2

Vamos entender a ideia básica de contagem que se aplica aqui (princípio multiplicativo de contagem). A situação é sequencial: escolhe-se o primeiro dígito, depois o segundo, depois o terceiro, com a restrição “sem repetição”. Para problemas assim, contamos quantas escolhas possíveis existem em cada posição e multiplicamos essas quantidades.
Explicando devagar:
  • Para a primeira posição da sequência (o primeiro dígito) a pessoa pode escolher qualquer um dos 10 dígitos. Então há 10 opções para a primeira posição.
  • Depois de fixar o primeiro dígito, como os dígitos devem ser distintos, sobra menos opções para a segunda posição: sobra 9 dígitos possíveis.
  • Após escolher os dois primeiros, para a terceira posição restam 8 dígitos possíveis.
Pelo princípio multiplicativo, o número total de sequências possíveis (cada sequência é uma tentativa distinta) é o produto dessas quantidades.

Passo 3

Calculemos o produto passo a passo:
10 \times 9 = 90
90 \times 8 = 720
Portanto, contando todas as sequências possíveis sem repetição, existem 10\cdot9\cdot8=720 sequências diferentes de 3 dígitos com dígitos distintos.

Passo 4

Vou apresentar também a fórmula padrão usada para este tipo de contagem (é útil reconhecer e usar em prova). Para escolher k elementos distintos e ordenados a partir de n elementos distintos, usa-se a permutação parcial
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot1, e (n-k)! cancela as partes finais do produto deixando exatamente n(n-1)\dots(n-k+1).
Neste problema n=10 e k=3, então
P(10,3)=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10!}{7!}=10\cdot9\cdot8=720.
Aqui expliquei o que cada símbolo significa para você poder usar essa fórmula com segurança na prova.

Passo 5

Um exemplo menor para fixar a ideia: suponha que houvesse só os dígitos 0,1,2,3 ( n=4) e quiséssemos sequências de 2 dígitos distintos ( k=2). Pelo raciocínio direto teríamos 4 opções para a primeira posição e 3 para a segunda, total 4\cdot3=12. Pela fórmula,
P(4,2)=\frac{4!}{(4-2)!}=\frac{24}{2}=12,
mesmo resultado — é o mesmo raciocínio em escala menor.

Resposta

720

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