Um cofre possui um disco marcado com os dígitos
. O segredo do cofre é formado por uma sequência de 3 dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? (Suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos.)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há um disco com os dígitos
. - O segredo do cofre é uma sequência de
dígitos. - Os dígitos na sequência são todos distintos (ou seja, não se repete dígito).
- Pergunta: no pior caso (para garantir abrir o cofre), quantas tentativas distintas a pessoa deverá fazer, no máximo?
Passo 2
Vamos entender a ideia básica de contagem que se aplica aqui (princípio multiplicativo de contagem). A situação é sequencial: escolhe-se o primeiro dígito, depois o segundo, depois o terceiro, com a restrição “sem repetição”. Para problemas assim, contamos quantas escolhas possíveis existem em cada posição e multiplicamos essas quantidades.
Explicando devagar:
- Para a primeira posição da sequência (o primeiro dígito) a pessoa pode escolher qualquer um dos
dígitos. Então há opções para a primeira posição. - Depois de fixar o primeiro dígito, como os dígitos devem ser distintos, sobra menos opções para a segunda posição: sobra
dígitos possíveis. - Após escolher os dois primeiros, para a terceira posição restam
dígitos possíveis.
Pelo princípio multiplicativo, o número total de sequências possíveis (cada sequência é uma tentativa distinta) é o produto dessas quantidades.
Passo 3
Calculemos o produto passo a passo:
Portanto, contando todas as sequências possíveis sem repetição, existem
sequências diferentes de
dígitos com dígitos distintos.
Passo 4
Vou apresentar também a fórmula padrão usada para este tipo de contagem (é útil reconhecer e usar em prova). Para escolher
elementos distintos e ordenados a partir de
elementos distintos, usa-se a permutação parcial
onde
(fatorial de
) é o produto
, e
cancela as partes finais do produto deixando exatamente
.
Neste problema
e
, então
Aqui expliquei o que cada símbolo significa para você poder usar essa fórmula com segurança na prova.
Passo 5
Um exemplo menor para fixar a ideia: suponha que houvesse só os dígitos
(
) e quiséssemos sequências de
dígitos distintos (
). Pelo raciocínio direto teríamos
opções para a primeira posição e
para a segunda, total
. Pela fórmula,
mesmo resultado — é o mesmo raciocínio em escala menor.
Resposta
720