Quantos anagramas da palavra LETRAS podem ser formados de modo que as vogais fiquem sempre separadas?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quantos anagramas da palavra LETRAS podem ser formados de modo que as vogais fiquem sempre separadas?”\n\nInformações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
  • A palavra é LETRAS, formada por 6 letras.
  • As letras são todas distintas: L,E,T,R,A,S.
  • As vogais são E e A (ou seja, 2 vogais).
  • As consoantes são L,T,R,S (ou seja, 4 consoantes).
  • A condição exigida: as duas vogais nunca podem ficar juntas; devem estar sempre em posições separadas por pelo menos uma consoante.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados de modo prático):
  • Permutação simples de n objetos distintos: o número de formas de ordenar n objetos é n! (lê-se "fatorial de n"), onde
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Exemplo rápido: 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
  • Se tivermos de escolher posições distintas entre várias (sem ordem), usamos combinações: o número de maneiras de escolher k posições entre n é
\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
Exemplo: \binom{5}{2}=10.
  • Princípio multiplicativo: se um passo pode ser feito de a maneiras e outro, independente, de b maneiras, então os dois juntos podem ser feitos de a\cdot b maneiras.

Passo 3

Método direto (muito usado para “vogais separadas”): primeiro fixamos uma ordem das consoantes e depois inserimos as vogais em “vãos” entre/ao redor das consoantes de modo que não fiquem adjacentes.
  1. Ordenar as 4 consoantes L,T,R,S: há \,4!\, formas de permutá‑las. Explicando: cada permutação é uma sequência diferente das consoantes; 4!=24.
  2. Depois de dispor as 4 consoantes, contamos os “vãos” onde as vogais podem ser colocadas sem ficarem juntas. Com 4 consoantes colocadas em linha há 4+1=5 vãos possíveis: antes da primeira consoante, entre a 1ª e 2ª, entre 2ª e 3ª, entre 3ª e 4ª, e depois da 4ª. Assim há 5 posições possíveis para inserir vogais de maneira que duas vogais não caiam lado a lado.
  3. Precisamos escolher 2 desses 5 vãos para colocar as 2 vogais. O número de escolhas é
\binom{5}{2}.
  1. Para cada escolha de dois vãos, as duas vogais E e A podem ser arranjadas entre esses dois vãos de 2! maneiras (ou seja, EA ou AE).
  2. Aplicando o princípio multiplicativo, o número total de anagramas que satisfazem a condição é
4!\times\binom{5}{2}\times 2!.

Passo 4

Agora fazemos as contas passo a passo (mostrando cada número em TeX):
4! = 24, \qquad \binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!3!}=10, \qquad 2!=2.
Multiplicando:
24\times 10 \times 2 = 480.

Passo 5

Checagem alternativa (método por complementação) — bom para confirmar o resultado:
  • Total de anagramas sem restrição (todas as 6 letras distintas): 6!. Portanto
6! = 720.
  • Contar quantos anagramas têm as duas vogais juntas: tratamos o par de vogais como um único bloco mais as 4 consoantes, total de 5 “objetos” que podem ser permutados em 5! maneiras; dentro do bloco as duas vogais podem trocar de ordem em 2! maneiras. Logo:
\text{vogais juntas} = 5!\times 2! = 120\times 2 = 240.
  • Assim, pelo princípio do complemento, o número com vogais sempre separadas é
6! - 5!\times 2! = 720 - 240 = 480,
que confirma o resultado anterior.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: portanto existem muitas maneiras (exatamente 480) de formar anagramas de LETRAS respeitando a condição de que E e A nunca fiquem lado a lado. Ótimo trabalho até aqui — quando achar problemas assim na prova, pense em “fixar” o grupo que causa a restrição (aqui as consoantes) e contar vãos, ou use complemento se for mais rápido.

Resposta

480

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