Quantos anagramas da palavra LETRAS podem ser formados de modo que as vogais fiquem sempre separadas?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quantos anagramas da palavra LETRAS podem ser formados de modo que as vogais fiquem sempre separadas?”\n\nInformações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
- A palavra é LETRAS, formada por
letras. - As letras são todas distintas:
. - As vogais são
e (ou seja, vogais). - As consoantes são
(ou seja, consoantes). - A condição exigida: as duas vogais nunca podem ficar juntas; devem estar sempre em posições separadas por pelo menos uma consoante.
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicados de modo prático):
- Permutação simples de
objetos distintos: o número de formas de ordenar objetos é (lê-se "fatorial de "), onde
Exemplo rápido:
.
- Se tivermos de escolher posições distintas entre várias (sem ordem), usamos combinações: o número de maneiras de escolher
posições entre é
Exemplo:
.
- Princípio multiplicativo: se um passo pode ser feito de
maneiras e outro, independente, de maneiras, então os dois juntos podem ser feitos de maneiras.
Passo 3
Método direto (muito usado para “vogais separadas”): primeiro fixamos uma ordem das consoantes e depois inserimos as vogais em “vãos” entre/ao redor das consoantes de modo que não fiquem adjacentes.
-
Ordenar as
consoantes : há formas de permutá‑las. Explicando: cada permutação é uma sequência diferente das consoantes; . -
Depois de dispor as
consoantes, contamos os “vãos” onde as vogais podem ser colocadas sem ficarem juntas. Com consoantes colocadas em linha há vãos possíveis: antes da primeira consoante, entre a 1ª e 2ª, entre 2ª e 3ª, entre 3ª e 4ª, e depois da 4ª. Assim há posições possíveis para inserir vogais de maneira que duas vogais não caiam lado a lado. -
Precisamos escolher
desses vãos para colocar as vogais. O número de escolhas é
-
Para cada escolha de dois vãos, as duas vogais
e podem ser arranjadas entre esses dois vãos de maneiras (ou seja, ou ). -
Aplicando o princípio multiplicativo, o número total de anagramas que satisfazem a condição é
Passo 4
Agora fazemos as contas passo a passo (mostrando cada número em TeX):
Multiplicando:
Passo 5
Checagem alternativa (método por complementação) — bom para confirmar o resultado:
- Total de anagramas sem restrição (todas as
letras distintas): . Portanto
- Contar quantos anagramas têm as duas vogais juntas: tratamos o par de vogais como um único bloco mais as
consoantes, total de “objetos” que podem ser permutados em maneiras; dentro do bloco as duas vogais podem trocar de ordem em maneiras. Logo:
- Assim, pelo princípio do complemento, o número com vogais sempre separadas é
que confirma o resultado anterior.
Passo 6
Interpretação final e incentivo: portanto existem muitas maneiras (exatamente
) de formar anagramas de LETRAS respeitando a condição de que
e
nunca fiquem lado a lado. Ótimo trabalho até aqui — quando achar problemas assim na prova, pense em “fixar” o grupo que causa a restrição (aqui as consoantes) e contar vãos, ou use complemento se for mais rápido.