Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
pelo menos um membro da comissão seja matemático?
pelo menos um membro da comissão seja matemático?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Há um grupo com
pessoas no total. - Dessas,
são matemáticos e não-matemáticos. - Queremos formar comissões de
pessoas. - Pergunta: de quantas maneiras podemos formar uma comissão de
pessoas de modo que haja, na comissão, pelo menos um matemático?
Passo 2
Vamos entender a ferramenta básica que vamos usar: combinação (escolha sem ordem).
- A combinação de
objetos tomados a (ordem irrelevante) é denotada por e dada por
onde
(lê-se “
fatorial”) é
.
- Interpretação prática:
é o número total de comissões de pessoas tiradas das , sem distinguir ordem. - Uma técnica muito útil é o princípio do complemento: em vez de contar diretamente as comissões que têm pelo menos um matemático, contamos o total e subtraímos as comissões que não têm nenhum matemático (isto é, todas as
são não-matemáticos).
Passo 3
Calcular o número total de comissões de
pessoas escolhidas dentre
:
Para calcular de forma prática sem escrever
inteiro, use a forma multiplicativa
Agora fazemos cancelamentos sucessivos para simplificar:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Depois dos cancelamentos restam (agrupando fatores):
O denominador
. Cancelando
e reduzindo as potências de
(há
no numerador), sobra
no numerador. Assim obtemos
Calcule passo a passo:
-
. -
. -
. -
.
Portanto
Passo 4
Calcular o número de comissões de
pessoas que NÃO têm nenhum matemático (ou seja, todas as
escolhidas entre os
não-matemáticos):
Fazendo cancelamentos práticos:
-
. -
. -
.
Agora podemos cancelar odo numerador com o do denominador restante, sobrando
Calcule:
-
. -
. -
.
Portanto
Passo 5
Aplicando o princípio do complemento: o número de comissões de
pessoas que têm pelo menos um matemático é
Passo 6
Substituindo os valores numéricos que calculamos:
Passo 7
Comentário rápido para dar confiança: uma alternativa (mais longa) seria somar, para cada
, o número de comissões com exatamente
matemáticos:
e essa soma dá o mesmo resultado
. O uso do complemento foi mais curto e seguro na prova.