Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
pelo menos um membro da comissão seja matemático?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Há um grupo com 20 pessoas no total.
  • Dessas, 5 são matemáticos e 15 não-matemáticos.
  • Queremos formar comissões de 10 pessoas.
  • Pergunta: de quantas maneiras podemos formar uma comissão de 10 pessoas de modo que haja, na comissão, pelo menos um matemático?

Passo 2

Vamos entender a ferramenta básica que vamos usar: combinação (escolha sem ordem).
  • A combinação de n objetos tomados k a k (ordem irrelevante) é denotada por \displaystyle \binom{n}{k} e dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é n!=n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot1.
  • Interpretação prática: \displaystyle \binom{20}{10} é o número total de comissões de 10 pessoas tiradas das 20, sem distinguir ordem.
  • Uma técnica muito útil é o princípio do complemento: em vez de contar diretamente as comissões que têm pelo menos um matemático, contamos o total e subtraímos as comissões que não têm nenhum matemático (isto é, todas as 10 são não-matemáticos).

Passo 3

Calcular o número total de comissões de 10 pessoas escolhidas dentre 20:
\binom{20}{10}=\frac{20!}{10!\,10!}.
Para calcular de forma prática sem escrever 20! inteiro, use a forma multiplicativa
\binom{20}{10}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora fazemos cancelamentos sucessivos para simplificar:
  • 20/10=2.
  • 18/9=2.
  • 16/8=2.
  • 15/5=3.
  • 14/7=2.
  • 12/6=2.
Depois dos cancelamentos restam (agrupando fatores):
\binom{20}{10}=2\cdot19\cdot2\cdot17\cdot2\cdot3\cdot2\cdot13\cdot2\cdot11 \div (4\cdot3\cdot2\cdot1).
O denominador 4\cdot3\cdot2\cdot1=24=2^3\cdot3. Cancelando 3 e reduzindo as potências de 2 (há 2^5 no numerador), sobra 2^{5-3}=2^2=4 no numerador. Assim obtemos
\binom{20}{10}=4\cdot19\cdot17\cdot13\cdot11.
Calcule passo a passo:
  • 19\cdot17=323.
  • 13\cdot11=143.
  • 323\cdot143=46189.
  • 4\cdot46189=184756.
Portanto
\binom{20}{10}=184756.

Passo 4

Calcular o número de comissões de 10 pessoas que NÃO têm nenhum matemático (ou seja, todas as 10 escolhidas entre os 15 não-matemáticos):
\binom{15}{10}=\binom{15}{5}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo cancelamentos práticos:
  • 15/5=3.
  • 14/2=7.
  • 12/4=3.
    Agora podemos cancelar o 3 do numerador com o 3 do denominador restante, sobrando
\binom{15}{5}=7\cdot13\cdot3\cdot11.
Calcule:
  • 7\cdot13=91.
  • 91\cdot3=273.
  • 273\cdot11=3003.
Portanto
\binom{15}{10}=3003.

Passo 5

Aplicando o princípio do complemento: o número de comissões de 10 pessoas que têm pelo menos um matemático é
\binom{20}{10}-\binom{15}{10}.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos que calculamos:
184756-3003=181753.

Passo 7

Comentário rápido para dar confiança: uma alternativa (mais longa) seria somar, para cada k=1,2,\dots,5, o número de comissões com exatamente k matemáticos:
\sum_{k=1}^{5}\binom{5}{k}\binom{15}{10-k},
e essa soma dá o mesmo resultado 181753. O uso do complemento foi mais curto e seguro na prova.

Resposta

181753

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