O conjunto de vetores B=w1, w2, cdots, wn subset V é chamado de base do espaço vetorial V se e soemente se:
(a) S é linearmente independente
(b) S é um conjunto gerador de V.
Mostre que os vetores (1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) formam uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores
,v1=(1,1,1),,v2=(1,2,3),,v3=(2,-1,1)
são uma base de R^3.
Para isso precisamos verificar duas coisas:
  1. v1,v2,v3 é linearmente independente.
  2. v1,v2,v3 gera R^3.

Passo 2

Mostramos a independência linear calculando o determinante da matriz que tem v1,v2,v3 como colunas:
A = 1 & 1 & 2 1 & 2 & -1 1 & 3 & 1
O determinante é
det(A) =1cdotdet!2 & -13 & 1 -1cdotdet!1 & -11 & 1 +2cdotdet!1 & 21 & 3
Calculando cada menor, temos
det!2 & -13 & 1 =2cdot1 -(-1)cdot3 = 5,
det!1 & -11 & 1 =1cdot1 -(-1)cdot1 = 2,
det!1 & 21 & 3 =1cdot3 - 2cdot1 = 1
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det(A)=1cdot5 -1cdot2 +2cdot1 = 5 -2 +2 = 5 neq 0
Como det(A)neq0, as colunas de A são linearmente independentes.

Passo 3

Em R^3, qualquer conjunto de três vetores linearmente independentes gera todo o espaço (ou seja, forma base), pois dimR^3=3. Assim, de det(A)neq0 segue imediatamente que v1,v2,v3 também gera R^3.

Resposta

Os vetores (1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) formam uma base de R^3.

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