O conjunto de vetores é chamado de base do espaço vetorial se e soemente se:
(a) é linearmente independente
(b) é um conjunto gerador de .
Mostre que os vetores formam uma base de .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores
são uma base de .
Para isso precisamos verificar duas coisas:
é linearmente independente.
gera .
Passo 2
Mostramos a independência linear calculando o determinante da matriz que tem como colunas:
Como det(A)neq0, as colunas de A são linearmente independentes.
Passo 3
Em R^3, qualquer conjunto de três vetores linearmente independentes gera todo o espaço (ou seja, forma base), pois dimR^3=3. Assim, de det(A)neq0 segue imediatamente que v1,v2,v3 também gera R^3.
Resposta
Os vetores (1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) formam uma base de R^3.