Mostre que as coleções de vetores em R^3 seguintes, são linearmente independentes
u=(1,0, 12), v=(0,1, 12), w=(12, 12, 0)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=l(1,0,tfrac12r), v=l(0,1,tfrac12r), w=l(tfrac12,tfrac12,0r)
e pede para mostrar que são linearmente independentes.
Conteúdo: definição de independência linear em R^3. Precisamos mostrar que a única solução de uma combinação linear nula é trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Passo 2

Considere a combinação
alpha,u+beta,v+gamma,w=(0,0,0)
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos três equações:
alpha + tfrac12gamma = 0,
beta + tfrac12gamma = 0,
tfrac12(alpha + beta) = 0

Passo 3

Da primeira equação segue
alpha = -tfrac12gamma,
e da segunda
beta = -tfrac12gamma
Substituindo essas expressões na terceira equação dá
tfrac12l(-tfrac12gamma + (-tfrac12gamma)r)=0 Longrightarrow -tfrac12,gamma=0 Longrightarrow gamma=0
Logo alpha=-tfrac12cdot0=0 e beta=-tfrac12cdot0=0.

Resposta

Os únicos coeficientes que satisfazem alpha,u+beta,v+gamma,w=0 são alpha=beta=gamma=0. Portanto, u,v,w são linearmente independentes.

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