Qual coleção de vetores em R^3 é linearmente dependente?
u=(1, 12, 0), v=(12, 1,0), w=(32, 32, 0)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u = l(1,tfrac12,0r), v = l(tfrac12,1,0r), w = l(tfrac32,tfrac32,0r)
e pede para identificar qual coleção é linearmente dependente. Lembrando que estamos trabalhando com dependência em R^3.

Passo 2

Uma coleção u,v,w é linearmente dependente se existem escalares alpha,beta,gamma, não todos nulos, tais que
alpha,u + beta,v + gamma,w = (0,0,0)
Nossa estratégia é procurar uma combinação óbvia dessas iguais a zero.

Passo 3

Observe que
u + v = l(1+tfrac12,;tfrac12+1,;0+0r) = l(tfrac32,;tfrac32,;0r) = w
Isso implica
1cdot u + 1cdot v -1cdot w = (0,0,0),
com alpha=1, beta=1 e gamma=-1, uma combinação não trivial.

Passo 4

Como achamos escalares não todos nulos que satisfazem alpha,u+beta,v+gamma,w=0, concluímos que a coleção u,v,w é linearmente dependente.

Resposta

A coleção u,v,w é linearmente dependente.

Exercícios relacionados