Construa uma familia de vetores ortogonais u1, u2, u3 subset R^3, a partir das seguintes coleções de vetores
(4,2,0),(2,4,0),(2,2,4)

Passo 1

O enunciado pede para construirmos uma família ortogonal em R^3 usando o processo de Gram–Schmidt a partir dos vetores
v1 = (4,2,0), v2 = (2,4,0), v3 = (2,2,4)
Vamos aplicar Gram–Schmidt para obter u1,u2,u3.

Passo 2

Escolhemos
u1 = v1 = (4,2,0)

Passo 3

Para encontrar u2 subtraímos de v2 sua projeção em u1. A projeção é
proju1(v2) = lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1,
onde
lang<= v2,u1rang<= = 2cdot4 + 4cdot2 + 0cdot0 = 16, lang<= u1,u1rang<= = 4^2 + 2^2 + 0^2 = 20
Logo,
proju1(v2) = 1620,(4,2,0) = l(tfrac165,tfrac85,0r)
Assim
u2 = v2 - proju1(v2) = (2,4,0) - l(tfrac165,tfrac85,0r) = l(-tfrac65,tfrac125,0r)

Passo 4

Para obter u3 subtraímos de v3 as projeções em u1 e em u2. Primeiro,
proju1(v3) = lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1, lang<= v3,u1rang<= = 2cdot4 + 2cdot2 + 4cdot0 = 12,
proju1(v3) = 1220,(4,2,0) = l(tfrac125,tfrac65,0r)
Em seguida,
proju2(v3) = lang<= v3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=,u2, lang<= v3,u2rang<= = 2cdotl(-tfrac65r)+2cdottfrac125+4cdot0 = tfrac125,
lang<= u2,u2rang<= = l(-tfrac65r)^2 + l(tfrac125r)^2 = tfrac3625 + tfrac14425 = tfrac18025 = tfrac365,
proju2(v3) = tfrac125tfrac365,u2 = tfrac13,u2 = l(-tfrac25,tfrac45,0r)
Portanto
u3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3) = (2,2,4) - l(tfrac125,tfrac65,0r) - l(-tfrac25,tfrac45,0r) = (0,0,4)

Resposta

Uma família ortogonal é
u1 = (4,2,0), u2 = l(-tfrac65,tfrac125,0r), u3 = (0,0,4)

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