Mostre que as coleções de vetores em R^3 seguintes, são geradores de R^3
w1=(1,0,0), w2=(0,1,0), w3=(0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as três vetores
;w1=(1,0,0),;w2=(0,1,0),;w3=(0,0,1)
formam um conjunto de geradores de R^3. O conteúdo aqui é o conceito de span (espaço gerado) por um conjunto de vetores: dizer que w1,w2,w3 gera R^3 significa que qualquer vetor de R^3 pode ser escrito como combinação linear de w1,w2,w3.

Passo 2

Começamos considerando um vetor genérico em R^3. Seja
v=(x,y,z),
onde x,y,zinR. Nosso objetivo é encontrar escalares alpha, beta e gamma tais que
v=alpha,w1+beta,w2+gamma,w3

Passo 3

Sabemos que
w1=(1,0,0), w2=(0,1,0), w3=(0,0,1)
Logo, uma combinação linear qualquer é
alpha,w1+beta,w2+gamma,w3 =(alpha,0,0)+(0,beta,0)+(0,0,gamma) =(alpha,beta,gamma)
Para que isso seja igual a v=(x,y,z), basta escolher
alpha = x, beta = y, gamma = z

Passo 4

Como para qualquer vetor (x,y,z)inR^3 encontramos escalares alpha=x, beta=y, gamma=z que satisfazem
(x,y,z) =x,(1,0,0)+y,(0,1,0)+z,(0,0,1),
concluímos que todo vetor de R^3 está no span de w1,w2,w3. Isso significa exatamente que esses vetores geram R^3.

Resposta

Os vetores w1,w2,w3 geram R^3 porque qualquer (x,y,z) pode ser escrito como
(x,y,z)=x,w1+y,w2+z,w3

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