Mostre também que o vetor (2,7,8) não é combinação linear dos vetores (1,2,3),(1,3,5),(1,5,9).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o vetor (2,7,8) não pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2,3), (1,3,5) e (1,5,9). O conteúdo envolvido é combinação linear e sistemas lineares: vamos supor que exista a combinação e verificar se o sistema de equações resultante tem solução.

Passo 2

Suponha que existam escalares a, b e c tais que
a(1,2,3) + b(1,3,5) + c(1,5,9) = (2,7,8)
Igualando coordenada a coordenada, obtemos o sistema
a + b + c = 2, 2a + 3b + 5c = 7, 3a + 5b + 9c = 8

Passo 3

Vamos eliminar a. Subtraindo 2 vezes a primeira equação da segunda:
(2a+3b+5c) - 2(a+b+c) = 7 - 4 Longrightarrow b + 3c = 3
Subtraindo 3 vezes a primeira da terceira:
(3a+5b+9c) - 3(a+b+c) = 8 - 6 Longrightarrow 2b + 6c = 2 Longrightarrow b + 3c = 1

Passo 4

Chegamos a duas expressões para b+3c que se contradizem ( 3 e 1). Isso mostra que o sistema é inconsistente, ou seja, não existem a,b,c que satisfaçam as três equações ao mesmo tempo.

Resposta

O sistema não tem solução, logo (2,7,8) não é combinação linear de (1,2,3), (1,3,5) e (1,5,9).

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