Mostre que as coleções de vetores em seguintes, são geradores de
Passo 1
O enunciado dá os vetores
em e pede para mostrar que eles geram . Para isso, vamos tomar um vetor arbitrário e ver se sempre encontramos escalares tais que
Precisaremos montar e resolver o sistema linear em .
Passo 2
Escrevendo a combinação linear e igualando coordenadas, temos
que equivale ao sistema
Passo 3
Resolvendo de baixo para cima:
Da terceira equação alpha = z.
Substituindo na segunda, beta = y - alpha = y - z.
Substituindo alpha e beta na primeira, gamma = x - (alpha+beta) = x - y.
Logo
alpha = z, beta = y - z, gamma = x - y
Passo 4
Concluímos que, para quaisquer x,y,z, existem alpha,beta,gamma que satisfazem a combinação linear. Assim todo vetor (x,y,z)inR^3 está no span de w1,w2,w3, logo essa coleção é geradora de R^3.