Mostre que as coleções de vetores em R^3 seguintes, são geradores de R^3
w1=(1,1,1), w2=(1,1,0), w3=(1,0,0)

Passo 1

O enunciado dá os vetores
w1=(1,1,1), w2=(1,1,0), w3=(1,0,0)
em R^3 e pede para mostrar que eles geram R^3. Para isso, vamos tomar um vetor arbitrário (x,y,z) e ver se sempre encontramos escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,w1+beta,w2+gamma,w3=(x,y,z)
Precisaremos montar e resolver o sistema linear em alpha,beta,gamma.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando coordenadas, temos
que equivale ao sistema

Passo 3

Resolvendo de baixo para cima:
Da terceira equação alpha = z.
Substituindo na segunda, beta = y - alpha = y - z.
Substituindo alpha e beta na primeira,
gamma = x - (alpha+beta) = x - y.
Logo
alpha = z, beta = y - z, gamma = x - y

Passo 4

Concluímos que, para quaisquer x,y,z, existem alpha,beta,gamma que satisfazem a combinação linear. Assim todo vetor (x,y,z)inR^3 está no span de w1,w2,w3, logo essa coleção é geradora de R^3.

Resposta

Para todo (x,y,z)inR^3 vale
(x,y,z) =z,w1+(y-z),w2+(x-y),w3,
portanto w1,w2,w3 gera R^3.

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