Resolva o PVI
d yd x=cos (x+y), y(-1)=-1

Passo 1

O PVI é
dydx=cos(x+y), y(-1)=-1
O conteúdo é EDO de primeira ordem não linear, que fica separável após a substituição adequada. Vamos usar u=x+y.

Passo 2

Definindo
u(x)=x+y(x),
temos
dudx=1+dydx=1+cos(u)

Passo 3

Reescrevemos em forma separável:
du1+cos(u)=dx
Para integrar usamos a identidade trigonométrica
1+cos(u)=2cos^2!l(tfrac u2r)

Passo 4

A integral do lado esquerdo fica
integral du1+cos(u) =integral du2cos^2!l(tfrac u2r) =12integral sec^2!l(tfrac u2r),du
Fazendo t=tfrac u2 (logo du=2,dt), temos
12integral sec^2(t),2,dt=integral sec^2(t),dt=tan(t)
Voltando a u, obtemos
tan!l(tfrac u2r)=x+C

Passo 5

Usando a condição y(-1)=-1
u(-1)=-1+(-1)=-2 Longrightarrow tan!l(tfrac-22r)=tan(-1)=-tan(1)
No ponto x=-1 a relação tan(tfrac u2)=x+C vira
-tan(1)=-1+C Longrightarrow C=1-tan(1)

Passo 6

Substituindo C em
tan!l(tfracx+y2r)=x+C
obtemos
tan!l(tfracx+y2r)=x+1-tan(1)
Isolando y,
y(x)=2arctanl(x+1-tan(1)r)-x

Resposta

y(x)=2arctanl(x+1-tan(1)r)-x

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