4 - Coletor de Cupom

Cada vez que se compra um saco de salgadinho, obtém-se como um bônus uma figurinha (escondida dentro da embalagem) de um jogador de futebol. Suponha que existam n imagens diferentes que são igualmente prováveis de estarem dentro de cada pacote.
Encontre o número esperado de pacotes que deve ser comprado para obter uma coleção completa de jogadores.

Passo 1

O enunciado pede o número esperado de pacotes que precisamos comprar para obter uma coleção completa de n figurinhas diferentes, cada uma aparecendo com probabilidade igual em cada pacote. O conteúdo aqui é o problema do coletor de cupons e vamos precisar usar distribuição geométrica e linearidade da esperança.

Passo 2

Modelagem do processo: seja X a variável aleatória que conta o número total de pacotes até completar a coleção. Para facilitar, dividimos em n etapas: X = X1 + X2 + cdots + Xn, onde Xk é o número de pacotes necessários para obter a k-ésima figurinha nova, dado que já temos k-1 distintas. Pela linearidade da esperança temos
E(X)=sumk=1^nE(Xk)

Passo 3

Cálculo de E(Xk): na etapa k, a probabilidade de sair uma figurinha que ainda não temos é
pk=n-(k-1)n
Como Xk segue distribuição geométrica com parâmetro pk, vale
E(Xk)=1pk=nn-k+1

Passo 4

Somando todas as etapas, obtemos
E(X)=sumk=1^nnn-k+1 = nsumk=1^n1k
Aqui Hn=sumk=1^n1/k é o n-ésimo número harmônico.

Resposta

E(X)=nsumk=1^n1k

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