4 - Coletor de Cupom
Cada vez que se compra um saco de salgadinho, obtém-se como um bônus uma figurinha (escondida dentro da embalagem) de um jogador de futebol. Suponha que existam
imagens diferentes que são igualmente prováveis de estarem dentro de cada pacote.
Encontre o número esperado de pacotes que deve ser comprado para obter uma coleção completa de jogadores.
Encontre o número esperado de pacotes que deve ser comprado para obter uma coleção completa de jogadores.
Passo 1
O enunciado pede o número esperado de pacotes que precisamos comprar para obter uma coleção completa de
figurinhas diferentes, cada uma aparecendo com probabilidade igual em cada pacote. O conteúdo aqui é o problema do coletor de cupons e vamos precisar usar distribuição geométrica e linearidade da esperança.
Passo 2
Modelagem do processo: seja
a variável aleatória que conta o número total de pacotes até completar a coleção. Para facilitar, dividimos em
etapas:
, onde
é o número de pacotes necessários para obter a
-ésima figurinha nova, dado que já temos
distintas. Pela linearidade da esperança temos
Passo 3
Cálculo de
: na etapa
, a probabilidade de sair uma figurinha que ainda não temos é
Como
segue distribuição geométrica com parâmetro
, vale
Passo 4
Somando todas as etapas, obtemos
Aqui
é o
-ésimo número harmônico.