Dada uma variável aleatória
, então, para todo
, existe uma variável aleatória limitada
, tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer
, podemos aproximar uma variável aleatória qualquer
por uma variável aleatória limitada
de modo que
. O conteúdo aqui é truncamento de variáveis aleatórias e uso da propriedade de que
quando
.
Passo 2
Para começar, vamos construir uma sequência de variáveis aleatórias truncadas em
. Definimos
Passo 3
Cada
é limitada em módulo por
, ou seja,
para todo
. Além disso, o evento em que
difere de
é exatamente
, logo
Passo 4
Pela propriedade de continuidade de medidas para conjuntos decrescentes, temos
Passo 5
Então, dado
, existe
suficientemente grande tal que
Passo 6
Basta agora definir
. Essa nova variável é limitada (pois tem módulo no máximo
) e satisfaz
Resposta
Uma construção explícita é
X_{\epsilon}(\omega)=
onde
é escolhido tal que
. Assim,
é limitada por
e
.