Dada uma variável aleatória X, então, para todo epsilon>0, existe uma variável aleatória limitada Xepsilon, tal que

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer epsilon>0, podemos aproximar uma variável aleatória qualquer X por uma variável aleatória limitada Xepsilon de modo que P(Xneq Xepsilon). O conteúdo aqui é truncamento de variáveis aleatórias e uso da propriedade de que P(|X|>n)to 0 quando ntoinfty.

Passo 2

Para começar, vamos construir uma sequência de variáveis aleatórias truncadas em n. Definimos
Xn(omega)=X(omega),&se |X(omega)|<= n,0,&se |X(omega)|>n

Passo 3

Cada Xn é limitada em módulo por n, ou seja, |Xn(omega)|<= n para todo omega. Além disso, o evento em que X difere de Xn é exatamente |X|>n, logo
P(Xneq Xn)=P(|X|>n)

Passo 4

Pela propriedade de continuidade de medidas para conjuntos decrescentes, temos
limntoinftyP(|X|>n)=Pl(capn=1^infty|X|>nr)=P(emptyset)=0

Passo 5

Então, dado epsilon>0, existe N suficientemente grande tal que
P(|X|>N)

Passo 6

Basta agora definir Xepsilon=XN. Essa nova variável é limitada (pois tem módulo no máximo N) e satisfaz
P(Xneq Xepsilon)=P(|X|>N)

Resposta

Uma construção explícita é
X_{\epsilon}(\omega)= X(omega),&se |X(omega)|<= N,0,&caso contrário,á
onde N é escolhido tal que P(|X|>N). Assim, Xepsilon é limitada por N e P(Xneq Xepsilon).

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