Uma moeda honesta é lançada de forma independente
vezes. Seja
o número de caras obtidas nesses
lançamentos. Use a desigualdade de Chebyshev para provar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma moeda honesta lançada independentemente n vezes e S_n sendo o número de caras, temos lim_{n→∞} P(|S_n/n - 1/2| < ε) = 1 usando a desigualdade de Chebyshev. O conteúdo é a Lei Fraca dos Grandes Números para variáveis de Bernoulli, e vamos precisar calcular a esperança e a variância de S_n/n e aplicar Chebyshev.
Passo 2
Cada lançamento é Bernoulli(1/2), então E[S_n] = n·1/2 e Var(S_n) = n·(1/2)·(1/2) = n/4. Para a média amostral temos E[S_n/n] = 1/2 e Var(S_n/n] = Var(S_n)/n^2.
Passo 3
Aplicamos a desigualdade de Chebyshev à variável S_n/n. Para qualquer ε>0,
Passo 4
Substituindo Var(S_n/n) = 1/(4n) obtemos
Passo 5
Como n→∞, o lado direito vai a zero, logo P(|S_n/n - 1/2| ≥ ε) → 0. Portanto, seu complementar tende a 1:
Resposta
Usando Chebyshev, mostramos que P(|S_n/n - 1/2| < ε) → 1 quando n → ∞.