Uma moeda honesta é lançada de forma independente n vezes. Seja Sn o número de caras obtidas nesses n lançamentos. Use a desigualdade de Chebyshev para provar que
lim n infty P(|Snn-12|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma moeda honesta lançada independentemente n vezes e S_n sendo o número de caras, temos lim_{n→∞} P(|S_n/n - 1/2| < ε) = 1 usando a desigualdade de Chebyshev. O conteúdo é a Lei Fraca dos Grandes Números para variáveis de Bernoulli, e vamos precisar calcular a esperança e a variância de S_n/n e aplicar Chebyshev.

Passo 2

Cada lançamento é Bernoulli(1/2), então E[S_n] = n·1/2 e Var(S_n) = n·(1/2)·(1/2) = n/4. Para a média amostral temos E[S_n/n] = 1/2 e Var(S_n/n] = Var(S_n)/n^2.

Passo 3

Aplicamos a desigualdade de Chebyshev à variável S_n/n. Para qualquer ε>0,
Pl(|Sn/n - 1/2| >= epsilonr) <= Var(Sn/n)epsilon^2

Passo 4

Substituindo Var(S_n/n) = 1/(4n) obtemos
Pl(|Sn/n - 1/2| >= epsilonr) <= 14n,epsilon^2

Passo 5

Como n→∞, o lado direito vai a zero, logo P(|S_n/n - 1/2| ≥ ε) → 0. Portanto, seu complementar tende a 1:
Pl(|Sn/n - 1/2| < epsilonr) = 1 - Pl(|Sn/n - 1/2| ≥ epsilonr) to 1

Resposta

Usando Chebyshev, mostramos que P(|S_n/n - 1/2| < ε) → 1 quando n → ∞.

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