Suponha que
em distribuição e
sejam números reais tais que
como
. Mostre que
em distribuição.
Passo 1
O exercício diz que temos uma sequência de variáveis aleatórias
que converge em distribuição para alguma
, e uma sequência de escalares reais
tal que
. A tarefa é mostrar que
converge em distribuição para o constante zero. Vamos usar teoria de convergência e tightness.
Passo 2
Primeiro, lembrar que convergência em distribuição implica que a sequência
é tight, ou seja, para todo
existe
tal que
. Intuitivamente, os valores de
não “escapam” para infinito com probabilidade significativa.
Agora, para mostrar que em probabilidade, pegue um
. Temos
Agora, para mostrar que
Passo 3
Como
, para
grande valem
, o que implica
. Logo, para esses
,
Passo 4
Isso mostra que
, ou seja,
em probabilidade.
Concluir que convergência em probabilidade implica convergência em distribuição. Assim, converge em distribuição para a variável degenerate que vale zero.
Portanto, mostramos que em distribuição, como pedido.
Concluir que convergência em probabilidade implica convergência em distribuição. Assim,
Portanto, mostramos que
Resposta
A sequência
converge em distribuição para a variável degenerate zero.