Suponha que Xn X em distribuição e an sejam números reais tais que an 0 como n infty. Mostre que an Xn 0 em distribuição.

Passo 1

O exercício diz que temos uma sequência de variáveis aleatórias Xn que converge em distribuição para alguma X, e uma sequência de escalares reais an tal que an to 0. A tarefa é mostrar que an Xn converge em distribuição para o constante zero. Vamos usar teoria de convergência e tightness.

Passo 2

Primeiro, lembrar que convergência em distribuição implica que a sequência (Xn) é tight, ou seja, para todo varepsilon>0 existe M>0 tal que supn P(|Xn|>M). Intuitivamente, os valores de Xn não “escapam” para infinito com probabilidade significativa.
Agora, para mostrar que an Xnto0 em probabilidade, pegue um de0. Temos
Pl(|an Xn-0|>dede

Passo 3

Como anto0, para n grande valem |an|, o que implica deM. Logo, para esses n,
Pl(|an Xn|>deM) <= supk P(|Xk|>M) < varepsilon

Passo 4

Isso mostra que P(|an Xn|>de, ou seja, an Xnto0 em probabilidade.
Concluir que convergência em probabilidade implica convergência em distribuição. Assim, an Xn converge em distribuição para a variável degenerate que vale zero.
Portanto, mostramos que an Xnto0 em distribuição, como pedido.

Resposta

A sequência an Xn converge em distribuição para a variável degenerate zero.

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