Considere o espaço de probabilidade Omega= [-1 / 2,1 / 2] com a medida normalizada de Lebesgue. Construa duas variáveis aleatórias X, Y em Omega que não são correlacionadas, mas não são independentes. (Sugestão: considere X(x)=x, .

Passo 1

Neste exercício, nosso espaço de probabilidade é Ω=[-1/2,1/2] com medida de Lebesgue normalizada. Queremos construir duas v.a. X e Y que sejam não correlacionadas (Cov(X,Y)=0) mas que não sejam independentes.

Passo 2

Vamos definir as variáveis aleatórias da seguinte forma:
X(x)=x,
Y(x)=x^2

Passo 3

Como a distribuição em Ω é simétrica em torno de zero, calculamos:
E[X]=integral-1/2^1/2x,dx=0,
E[Y]=integral-1/2^1/2x^2,dx=2integral0^1/2x^2,dx=2cdot(1/2)^33=112,
E[XY]=integral-1/2^1/2x^3,dx=0
Logo,
Cov(X,Y)=E[XY]-E[X],E[Y]=0-0cdottfrac112=0,
ou seja, X e Y não são correlacionadas.

Passo 4

Para ver que X e Y não são independentes, basta achar A e B tais que
$$P(X\in A,Y\in B)\neq P(X\in A)P(Y\in B).
$$
Tomemos
P(Xin A,Yin B)neq P(Xin A)P(Yin B)
A=x:X(x)>1/4=(1/4,1/2], 
Calculamos:
B=x:Y(x)<0.06=igl(-raiz0.06,raiz0.06r)
P(Xin A)=tfrac1/2-1/41=tfrac14,
mas em A não existe x tal que |x|<√0.06 e ao mesmo tempo x>1/4, então
P(Yin B)=tfrac2raiz0.061approx0.49,
Isso mostra que X e Y são dependentes.

Resposta

Por exemplo, basta tomar as variáveis aleatórias
X(x)=x,
Y(x)=x^2
em Ω=[-1/2,1/2].

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