Considere o espaço de probabilidade
com a medida normalizada de Lebesgue. Construa duas variáveis aleatórias
em
que não são correlacionadas, mas não são independentes. (Sugestão: considere
,
.
Passo 1
Neste exercício, nosso espaço de probabilidade é Ω=[-1/2,1/2] com medida de Lebesgue normalizada. Queremos construir duas v.a. X e Y que sejam não correlacionadas (Cov(X,Y)=0) mas que não sejam independentes.
Passo 2
Vamos definir as variáveis aleatórias da seguinte forma:
Passo 3
Como a distribuição em Ω é simétrica em torno de zero, calculamos:
Logo,
ou seja, X e Y não são correlacionadas.
Passo 4
Para ver que X e Y não são independentes, basta achar A e B tais que
$$P(X\in A,Y\in B)\neq P(X\in A)P(Y\in B).
$$
Tomemos
Calculamos:
mas em A não existe x tal que |x|<√0.06 e ao mesmo tempo x>1/4, então
Isso mostra que X e Y são dependentes.
Resposta
Por exemplo, basta tomar as variáveis aleatórias
X(x)=x,
Y(x)=x^2
em Ω=[-1/2,1/2].