Numa colméia, a razão de crescimento da população é uma função da população. Assim
.
a) Calcule
para
, considere
e determine a população limite do sistema (i.e. o limite de
quando
tende a infinito).
b) Encontre
para
onde
e
são constantes positivas. Determine a população limite do sistema.
a) Calcule
b) Encontre
Passo 1
Esse exercício envolve equações diferenciais autônomas do tipo
Passo 2
Passo 3
\frac{dp}{dt}=f§
Passo 4
]
Passo 5
com condição inicial
. Vamos usar separação de variáveis para encontrar
e depois determinar o limite quando
.
Passo 6
Para a parte a), temos
. Separamos as variáveis:
Passo 7
Passo 8
\frac{dp}{p}=\beta,dt
Passo 9
]
Passo 10
Integrando ambos os lados:
Passo 11
Passo 12
\int\frac{1}{p},dp=\int\beta,dt\quad\Longrightarrow\quad\ln|p|=\beta t+C
Passo 13
]
Passo 14
Exponenciando e usando
:
Passo 15
Passo 16
p(t)=e^{\beta t+C}=e^C e^{\beta t}\quad\Rightarrow\quad p(t)=p_0e^{\beta t}.
Passo 17
]
Passo 18
Para a parte b), temos
. Separamos:
Passo 19
Passo 20
\frac{dp}{p(\beta-kp)}=dt.
Passo 21
]
Passo 22
Fazemos decomposição em frações parciais:
Passo 23
Passo 24
\frac{1}{p(\beta-kp)}=\frac{1}{\beta}\frac{1}{p}+\frac{k}{\beta}\frac{1}{\beta-kp}.
Passo 25
]
Passo 26
Integrando:
Passo 27
Passo 28
\frac{1}{\beta}\ln|p| - \frac{1}{\beta}\ln|\beta-kp|=t+C,
Passo 29
]
Passo 30
logo
Passo 31
Passo 32
\ln\frac{p}{\beta-kp}=\beta t+\tilde C.
Passo 33
]
Passo 34
Definindo
e resolvendo para
:
Passo 35
Passo 36
\frac{p}{\beta-kp}=C’e^{\beta t}\
Passo 37
p(1+kC’e^{\beta t})=\beta C’e^{\beta t} \
Passo 38
p(t)=\frac{\beta C’e^{\beta t}}{1+kC’e^{\beta t}}.
Passo 39
]
Passo 40
Impondo
obtém-se
e finalmente
Passo 41
Passo 42
p(t)=\frac{\beta p_0}{k p_0+(\beta-kp_0)e^{-\beta t}}.
Passo 43
]
Resposta
a)
, limite
. b)
, limite
.