Numa colméia, a razão de crescimento da população é uma função da população. Assim d pd t=f(p).
a) Calcule p(t) para f(p)=beta cdot p(beta>0), considere p(0)=p0 e determine a população limite do sistema (i.e. o limite de p(t) quando t tende a infinito).
b) Encontre p(t) para f(p)=beta p-k p^2 onde beta e k são constantes positivas. Determine a população limite do sistema.

Passo 1

Esse exercício envolve equações diferenciais autônomas do tipo

Passo 2

Passo 3

\frac{dp}{dt}=f§

Passo 4

]

Passo 5

com condição inicial p(0)=p0. Vamos usar separação de variáveis para encontrar p(t) e depois determinar o limite quando ttoinfty.

Passo 6

Para a parte a), temos f(p)=beta p. Separamos as variáveis:

Passo 7

Passo 8

\frac{dp}{p}=\beta,dt

Passo 9

]

Passo 10

Integrando ambos os lados:

Passo 11

Passo 12

\int\frac{1}{p},dp=\int\beta,dt\quad\Longrightarrow\quad\ln|p|=\beta t+C

Passo 13

]

Passo 14

Exponenciando e usando p(0)=p0:

Passo 15

Passo 16

p(t)=e^{\beta t+C}=e^C e^{\beta t}\quad\Rightarrow\quad p(t)=p_0e^{\beta t}.

Passo 17

]

Passo 18

Para a parte b), temos f(p)=beta p-kp^2= p(beta-kp). Separamos:

Passo 19

Passo 20

\frac{dp}{p(\beta-kp)}=dt.

Passo 21

]

Passo 22

Fazemos decomposição em frações parciais:

Passo 23

Passo 24

\frac{1}{p(\beta-kp)}=\frac{1}{\beta}\frac{1}{p}+\frac{k}{\beta}\frac{1}{\beta-kp}.

Passo 25

]

Passo 26

Integrando:

Passo 27

Passo 28

\frac{1}{\beta}\ln|p| - \frac{1}{\beta}\ln|\beta-kp|=t+C,

Passo 29

]

Passo 30

logo

Passo 31

Passo 32

\ln\frac{p}{\beta-kp}=\beta t+\tilde C.

Passo 33

]

Passo 34

Definindo C'=e^tilde C e resolvendo para p:

Passo 35

Passo 36

\frac{p}{\beta-kp}=C’e^{\beta t}\

Passo 37

p(1+kC’e^{\beta t})=\beta C’e^{\beta t} \

Passo 38

p(t)=\frac{\beta C’e^{\beta t}}{1+kC’e^{\beta t}}.

Passo 39

]

Passo 40

Impondo p(0)=p0 obtém-se C'=p0/(beta-kp0) e finalmente

Passo 41

Passo 42

p(t)=\frac{\beta p_0}{k p_0+(\beta-kp_0)e^{-\beta t}}.

Passo 43

]

Resposta

a) p(t)=p0e^beta t, limite limttoinftyp(t)=+infty. b) p(t)=dfracbeta p0k p0+(beta-kp0)e^-beta t, limite limttoinftyp(t)=betak.

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