Inverter a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
Informações dadas:
Ou seja, a região de integração
é
Passo 2
Vamos entender as curvas que limitam
.
A curva inferior (função que aparece como limite inferior de
) é
Elevando ao quadrado obtemos
Se completarmos o quadrado em
,
ou seja
Logo
é a semicircunferência (metade superior) do círculo de centro
e raio
.
A curva superior é
que ao quadrado dá
uma parábola abrindo para a direita.
Portanto
é a região entre a semicircunferência
e a parábola
para
.
Passo 3
Vamos determinar o intervalo de
que aparece ao inverter a ordem.
As duas curvas se intersectam quando
Quadrando,
No intervalo
a interseção válida é
, que dá
. Isso mostra que as curvas se encontram em
, mas para valores de
a semicircunferência existe somente até um certo máximo de
: do círculo temos
, então
e portanto
Assim o valor de
que participa da região
está em
.
Passo 4
Para inverter, para um
fixo precisamos encontrar os valores de
tais que o par
pertence a
. A condição
é equivalente a
Trata-se de uma inequação quadrática em
. As raízes da equação associada
são
Para termos raízes reais é necessário
, isto é
— já identificamos esse teto. Quando
, a inequação
é satisfeita para
Denotemos essas duas raízes por
Passo 5
Ainda precisamos impor a outra desigualdade que vem da curva superior:
, que equivale a
. Para um
fixo, a condição final sobre
é a interseção
Agora vamos comparar
com
. Suponha que
. Isso dá
Ambos os lados são não-negativos para
, então ao quadrar obtemos
Isto só ocorre quando
. Portanto para todo
temos
No caso
todos três valores coincidem (
). Logo, para todo
a condição dominante é
Portanto a interseção anterior simplifica-se para
Passo 6
Concluímos que, ao inverter a ordem de integração,
varia de
a
e, para cada
,
varia entre
e
definidos acima. Assim a integral invertida é