Inverter a ordem de integração.
\int_{0}^{1}\left[\int_{\sqrt{x-x^{2}}}^{\sqrt{2 x}} f d y\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{1}\left[\int_{\sqrt{x-x^{2}}}^{\sqrt{2 x}} f\, d y\right] d x.
Informações dadas:
0\le x\le 1, \qquad \text{para cada }x\text{, } \sqrt{x-x^{2}}\le y\le \sqrt{2x}.
Ou seja, a região de integração R é
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; \sqrt{x-x^{2}}\le y\le \sqrt{2x}\}.

Passo 2

Vamos entender as curvas que limitam R.
A curva inferior (função que aparece como limite inferior de y) é
y=\sqrt{x-x^{2}}.
Elevando ao quadrado obtemos
y^{2}=x-x^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-x+y^{2}=0.
Se completarmos o quadrado em x,
x^{2}-x+y^{2}=(x-\tfrac{1}{2})^{2}+y^{2}-\tfrac{1}{4}=0,
ou seja
(x-\tfrac{1}{2})^{2}+y^{2}=\tfrac{1}{4}.
Logo y=\sqrt{x-x^{2}} é a semicircunferência (metade superior) do círculo de centro (\tfrac{1}{2},0) e raio \tfrac{1}{2}.
A curva superior é
y=\sqrt{2x},
que ao quadrado dá
y^{2}=2x\quad\Longleftrightarrow\quad x=\tfrac{y^{2}}{2},
uma parábola abrindo para a direita.
Portanto R é a região entre a semicircunferência y=\sqrt{x-x^{2}} e a parábola y=\sqrt{2x} para 0\le x\le 1.

Passo 3

Vamos determinar o intervalo de y que aparece ao inverter a ordem.
As duas curvas se intersectam quando
\sqrt{x-x^{2}}=\sqrt{2x}.
Quadrando,
x-x^{2}=2x \quad\Longrightarrow\quad -x^{2}-x=0\quad\Longrightarrow\quad x(x+1)=0.
No intervalo [0,1] a interseção válida é x=0, que dá y=0. Isso mostra que as curvas se encontram em (0,0), mas para valores de y>0 a semicircunferência existe somente até um certo máximo de y: do círculo temos (x-\tfrac12)^2+y^2=\tfrac14, então y^2\le\tfrac14 e portanto
0\le y\le \tfrac{1}{2}.
Assim o valor de y que participa da região R está em [0,\tfrac12].

Passo 4

Para inverter, para um y fixo precisamos encontrar os valores de x tais que o par (x,y) pertence a R. A condição \sqrt{x-x^{2}}\le y é equivalente a
y^{2}\ge x-x^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-x+y^{2}\le 0.
Trata-se de uma inequação quadrática em x. As raízes da equação associada x^{2}-x+y^{2}=0 são
x=\frac{1\pm\sqrt{1-4y^{2}}}{2}.
Para termos raízes reais é necessário 1-4y^{2}\ge 0, isto é y\le\tfrac12 — já identificamos esse teto. Quando 0\le y\le \tfrac12, a inequação x^{2}-x+y^{2}\le0 é satisfeita para
\frac{1-\sqrt{1-4y^{2}}}{2}\le x\le \frac{1+\sqrt{1-4y^{2}}}{2}.
Denotemos essas duas raízes por
x_{1}(y)=\frac{1-\sqrt{1-4y^{2}}}{2},\qquad x_{2}(y)=\frac{1+\sqrt{1-4y^{2}}}{2}.

Passo 5

Ainda precisamos impor a outra desigualdade que vem da curva superior: y\le \sqrt{2x}, que equivale a x\ge \tfrac{y^{2}}{2}. Para um y fixo, a condição final sobre x é a interseção
x\in\left[\,\frac{1-\sqrt{1-4y^{2}}}{2},\;\frac{1+\sqrt{1-4y^{2}}}{2}\right]\cap\left[\frac{y^{2}}{2},1\right].
Agora vamos comparar \tfrac{y^{2}}{2} com x_{1}(y)=\tfrac{1-\sqrt{1-4y^{2}}}{2}. Suponha que \tfrac{y^{2}}{2}\ge x_{1}(y). Isso dá
y^{2}\ge 1-\sqrt{1-4y^{2}}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1-4y^{2}}\ge 1-y^{2}.
Ambos os lados são não-negativos para 0\le y\le\tfrac12, então ao quadrar obtemos
1-4y^{2}\ge (1-y^{2})^{2}=1-2y^{2}+y^{4}\quad\Longrightarrow\quad 0\ge 2y^{2}+y^{4}.
Isto só ocorre quando y=0. Portanto para todo y\in(0,\tfrac12] temos
\frac{y^{2}}{2}< x_{1}(y).
No caso y=0 todos três valores coincidem ( 0). Logo, para todo y\in[0,\tfrac12] a condição dominante é
x_{1}(y)\le x\le x_{2}(y).
Portanto a interseção anterior simplifica-se para
x\in\left[\frac{1-\sqrt{1-4y^{2}}}{2},\;\frac{1+\sqrt{1-4y^{2}}}{2}\right].

Passo 6

Concluímos que, ao inverter a ordem de integração, y varia de 0 a \tfrac12 e, para cada y, x varia entre x_{1}(y) e x_{2}(y) definidos acima. Assim a integral invertida é
\int_{0}^{\tfrac{1}{2}}\left[\int_{\frac{1-\sqrt{1-4y^{2}}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{1-4y^{2}}}{2}} f(x,y)\,dx\right] dy.

Resposta

\int_{0}^{\tfrac{1}{2}}\left[\int_{\frac{1-\sqrt{1-4y^{2}}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{1-4y^{2}}}{2}} f(x,y)\,dx\right] dy

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