Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
. O conteúdo aqui é separação de variáveis, e vamos precisar também de integração por partes para resolver uma das integrais.
Passo 2
Colocamos na forma
e separamos as variáveis. Primeiro, isolamos
e
:
Mas o mais direto é notar que
Passo 3
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo:
No lado direito temos
Passo 4
Para
, usamos integração por partes com
e
. Assim:
Passo 5
Substituindo na igualdade integradas e renomeando constantes, obtemos:
Multiplicando por
e ajustando a constante, chega-se à forma implícita final:
Passo 6
Chegamos à solução geral implícita:
Resposta
e^{-y} = \frac{e^{2x}(2x - 1)}{4} + C