Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis:
e^x+2 y x d x+e^y-x d y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial e^x+2y,x,dx + e^y-x,dy = 0. O conteúdo aqui é separação de variáveis, e vamos precisar também de integração por partes para resolver uma das integrais.

Passo 2

Colocamos na forma dy/dx e separamos as variáveis. Primeiro, isolamos dy e dx:
ye^-y,dy + x e^2x e^-x+y-x,dx = 0
Mas o mais direto é notar que
ye^y-x dy = - x e^x+2y dx Longrightarrow e^-y dy = - x e^2x dx

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo:
integral e^-y,dy = -e^-y + C1
No lado direito temos
-integral x e^2x,dx

Passo 4

Para integral x e^2x dx, usamos integração por partes com u = x e dv = e^2x dx. Assim:
integral x e^2x dx = x2e^2x - integral 12e^2x dx = x2e^2x - 14e^2x + C2

Passo 5

Substituindo na igualdade integradas e renomeando constantes, obtemos:
- e^-y = -l(x2e^2x - 14e^2xr) + C3
Multiplicando por -1) e ajustando a constante, chega-se à forma implícita final:

Passo 6

Chegamos à solução geral implícita:
e^-y = e^2x(2x - 1)4 + C

Resposta

e^{-y} = \frac{e^{2x}(2x - 1)}{4} + C

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