Coloque a equação diferencial homogênea
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial em forma diferencial
e diz que ela é homogênea de grau 2, pois tanto
quanto
são funções homogêneas de grau 2. Para resolver equações homogêneas, usamos a substituição
Passo 2
Primeiro escrevemos a derivada
. Dividindo a equação por
, obtemos
Agora substituímos
e
. Como
, a razão fica
Isolando
, temos
ou seja
Passo 3
Agora a equação está separável em
e
:
Integramos ambos os lados:
Para a esquerda, faça
,
, logo
Para a direita,
Assim
onde
C'=-6C .
Passo 4
Voltando a
v=y/x , temos
com constante
K=e^C' . Multiplicando ambos os lados por
x^2 e limpando o valor absoluto via constante genérica, obtemos a solução implícita
Multiplicando ainda por
x^4 , fica