Coloque a equação diferencial homogênea
(5 x^2-2 y^2) d x-x y d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em forma diferencial
(5x^2-2y^2),dx - x,y,dy = 0
e diz que ela é homogênea de grau 2, pois tanto M(x,y)=5x^2-2y^2 quanto N(x,y)=-xy são funções homogêneas de grau 2. Para resolver equações homogêneas, usamos a substituição
y = v x, logo dy = v,dx + x,dv

Passo 2

Primeiro escrevemos a derivada dy/dx. Dividindo a equação por dx, obtemos
dydx ;=;5x^2-2y^2x,y
Agora substituímos y=vx e dy/dx = v + x,dv/dx. Como y^2=v^2x^2, a razão fica
v + xdvdx ;=;5x^2 - 2v^2x^2x,(v x) =x^2(5-2v^2)v,x^2 =5-2v^2v
Isolando dv/dx, temos
xdvdx = 5-2v^2v - v = 5-3v^2v,
ou seja
dvdx = 5-3v^2v,x

Passo 3

Agora a equação está separável em v e x:
v5-3v^2,dv = dxx
Integramos ambos os lados:
integral v5-3v^2,dv ;=;integral dxx
Para a esquerda, faça u=5-3v^2, du=-6v,dv, logo
integral v5-3v^2,dv = -16integral duu = -16lnl|5-3v^2r|
Para a direita,
integral dxx = ln|x| + C
Assim
-tfrac16lnl|5-3v^2r| = ln|x| + C Longrightarrow lnl|5-3v^2r| = -6ln|x| + C',
onde C'=-6C.

Passo 4

Voltando a v=y/x, temos
lnl|5-3l(tfracyxr)^2r| = lnl|x^-6r| + C' ;Longrightarrow; l|5-3tfracy^2x^2r| = K,x^-6,
com constante K=e^C'. Multiplicando ambos os lados por x^2 e limpando o valor absoluto via constante genérica, obtemos a solução implícita
5x^2 - 3y^2 = C,x^-4
Multiplicando ainda por x^4, fica
x^4,(5x^2 - 3y^2) = C

Resposta

x^4,(5x^2 - 3y^2) = C

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