Resolva os PVI’s sabendo que são EDO’s lineares.
l(e^-x-4 x^2 y) d x-x^3 d y=0 y(-1)=e

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear de primeira ordem em forma diferencial
(e^-x-4x^2y),dx - x^3,dy = 0
com condição inicial y(-1)=e.
Para resolver, vamos reescrever como dydx+P(x)y=Q(x), encontrar o fator integrante, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Para colocar na forma canônica, isolamos dydx. Podemos rearranjar a equação e dividir por x^3:
x^3dydx=e^-x-4x^2y
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dydx+4x,y=e^-xx^3
Aqui identificamos P(x)=4/x e Q(x)=e^-xx^-3.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x)=exp!l(integral P(x),dxr) =exp!l(integral4x,dxr) =exp(4ln|x|) =x^4

Passo 4

Multiplicamos a EDO por x^4:
x^4dydx+4x^3y =x^4cdote^-xx^3 =x,e^-x
O lado esquerdo é a derivada do produto x^4y, ou seja,
ddx(x^4y)=x,e^-x
Integramos em relação a x. Para integral x e^-x,dx usamos partes com u=x, dv=e^-xdx:
integral x e^-x,dx =-x e^-x-integral(-e^-x),dx =-(x+1)e^-x+C
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x^4y=-(x+1)e^-x+C

Passo 5

Isolando y obtemos
y(x)=-(x+1)e^-x+Cx^4
Aplicando y(-1)=e:
e=-((-1)+1)e^-(-1)+C(-1)^4 =0+C1 implies C=e

Resposta

y(x)=e-(x+1)e^-xx^4

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