Determine o campo vetorial gradiente nabla f de f :
f(x, y)=e^sen x+y^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar o campo vetorial gradiente nabla f da função f(x,y)=e^sin x + y^2. O conteúdo principal é cálculo de derivadas parciais e uso do operador gradiente.

Passo 2

O gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor das derivadas parciais: nabla f(x,y)=(partial f/partial x,;partial f/partial y). Como f é uma composição f(x,y)=e^u(x,y) com u(x,y)=sin x + y^2, vamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Para calcular a derivada parcial em relação a x, definimos u(x,y)=sin x + y^2. Assim, partial u/partial x=cos x e, pela regra da cadeia, partial f/partial x=e^u(x,y)cdot(partial u/partial x)=e^sin x + y^2cos x. Analogamente, em relação a y, temos partial u/partial y=2y e partial f/partial y=e^sin x + y^2cdot2y.

Passo 4

Juntando as derivadas parciais, o campo gradiente fica nabla f(x,y)=(e^sin x + y^2cos x,;2y,e^sin x + y^2).

Resposta

nabla f(x,y)=(e^sin x + y^2cos x,;2y,e^sin x + y^2)

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