Determine o campo vetorial gradiente
de
:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o campo vetorial gradiente
da função
. O conteúdo principal é cálculo de derivadas parciais e uso do operador gradiente.
Passo 2
O gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor das derivadas parciais:
. Como
é uma composição
com
, vamos aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Para calcular a derivada parcial em relação a
, definimos
. Assim,
e, pela regra da cadeia,
. Analogamente, em relação a
, temos
e
.
Passo 4
Juntando as derivadas parciais, o campo gradiente fica
.