Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
x^{2}+y^{2}-2 x-6 y-z+10=0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
x^{2}+y^{2}-2x-6y-z+10=0
e pede para colocá-la na forma padrão, identificar o tipo de superfície e esboçá-la. Vamos usar a técnica de completar quadrados em x e y e depois isolar z.

Passo 2

Complete o quadrado para x e para y:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1, \qquad y^{2}-6y = (y-3)^{2}-9.

Passo 3

Substituindo na equação original:
(x-1)^{2}-1 + (y-3)^{2}-9 - z +10 = 0
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(x-1)^{2} + (y-3)^{2} - z = 0
e portanto
z = (x-1)^{2} + (y-3)^{2}.

Passo 4

Da equação
z = (x-1)^{2} + (y-3)^{2}
vemos que é um paraboloide elíptico (neste caso circular, pois os coeficientes de (x-1)^{2} e (y-3)^{2} são iguais), com eixo paralelo ao eixo z e vértice em (1,3,0), abrindo para cima.

Passo 5

Para esboçar:
  • Vértice em (1,3,0).
  • Seções de nível z=c são círculos de centro (1,3) e raio \sqrt{c} no plano z=c.
  • Eixo de simetria é a reta \{(1,3,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.
  • Concavidade para cima, aumentando o raio à medida que z cresce.

Resposta

Forma padrão:
z = (x-1)^{2} + (y-3)^{2}.
Classificação: paraboloide elíptico de eixo paralelo a z (paraboloide circular), vértice em (1,3,0) e concavidade para cima.
Esboço: vértice em (1,3,0), seções de nível circulares de raio \sqrt{z} centradas em (1,3), eixo vertical em (1,3,z).

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