Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede para colocá-la na forma padrão, identificar o tipo de superfície e esboçá-la. Vamos usar a técnica de completar quadrados em
e
e depois isolar
.
Passo 2
Complete o quadrado para
e para
:
Passo 3
Substituindo na equação original:
logo
e portanto
Passo 4
Da equação
vemos que é um paraboloide elíptico (neste caso circular, pois os coeficientes de
e
são iguais), com eixo paralelo ao eixo
e vértice em
, abrindo para cima.
Passo 5
Para esboçar:
- Vértice em
. - Seções de nível
são círculos de centro e raio no plano . - Eixo de simetria é a reta
. - Concavidade para cima, aumentando o raio à medida que
cresce.
Resposta
Forma padrão:
Classificação: paraboloide elíptico de eixo paralelo a
(paraboloide circular), vértice em
e concavidade para cima.
Esboço: vértice em , seções de nível circulares de raio
centradas em
, eixo vertical em
.
Esboço: vértice em