Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{14}\right) \in \mathbb{R}^{14} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{12} & =x_{5} \\\ x_{13} & =x_{7} \\\ x_{13}+x_{12} & =x_{7}+x_{5} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 4
(B) 10
(C) 2
(D) 14
(E) 3
(F) 12
(G) 11
(H) 13

Passo 1

O enunciado define \displaystyle S=\{(x_1,\dots,x_{14})\in\mathbb{R}^{14}\mid x_{12}=x_5,\;x_{13}=x_7,\;x_{13}+x_{12}=x_7+x_5\}.
O conteúdo é Álgebra Linear: queremos a dimensão do espaço solução de um sistema homogêneo em \mathbb{R}^{14}, que é dado por 14-\operatorname{posto}(A), onde as equações formam as linhas de A.

Passo 2

Escrevemos as três condições como formas lineares iguais a zero:
\begin{cases} x_{12}-x_{5}=0,\\\ x_{13}-x_{7}=0,\\\ x_{13}+x_{12}-x_{7}-x_{5}=0. \end{cases}

Passo 3

Observamos que a terceira equação é soma das duas primeiras:
(x_{12}-x_5)+(x_{13}-x_7) =(x_{12}+x_{13})-(x_5+x_7)=0,
que coincide exatamente com x_{13}+x_{12}-x_{7}-x_{5}=0. Logo, só há duas equações independentes.

Passo 4

Como o sistema tem 14 variáveis e apenas 2 equações independentes,
\dim(S)=14-2=12.

Resposta

12

Exercícios relacionados