Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
x^{2}-y^{2}+z^{2}-4 x-2 z=0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricas
x^{2}-y^{2}+z^{2}-4x-2z=0
e pede que a coloquemos em forma canônica, classifiquemos o tipo de superfície e façamos um esboço. Para isso precisamos completar o quadrado em x e em z e depois comparar com as formas padrão de hiperboloides, elipsoides etc.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x e z:
x^{2}-4x = (x-2)^{2} -4, \qquad z^{2}-2z = (z-1)^{2} -1.
Substituindo na equação original:
(x-2)^{2}-4 \;-\; y^{2}\;+\;(z-1)^{2}-1 \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^{2}+(z-1)^{2}-y^{2}=5.

Passo 3

Para obter a forma padrão, dividimos tudo por 5:
\frac{(x-2)^{2}}{5} \;+\;\frac{(z-1)^{2}}{5}\;-\;\frac{y^{2}}{5} \;=\;1.
Essa é a forma canônica da superfície.

Passo 4

Na expressão
\frac{(x-2)^{2}}{5}+\frac{(z-1)^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{5}=1
temos dois quadrados com sinal positivo x,z e um com sinal negativo y, igual a 1. Isso identifica um hiperboloide de uma folha, centrado em (2,0,1) e com eixo principal paralelo ao eixo y.

Passo 5

Para esboçar:
  • O centro é (2,0,1).
  • Em cortes por planos y=k fixo, obtemos elipses
\frac{(x-2)^{2}}{5}+\frac{(z-1)^{2}}{5}=1+\frac{k^{2}}{5},
que crescem conforme \lvert k\rvert aumenta.
  • Em cortes por planos x=2 ou z=1 fixos, obtemos hipérboles no plano (y,z) ou (x,y).
O esboço mostra um “gargalo” em y=0 (elipse de raio \sqrt{5}) e depois o corpo se abre em ambos os sentidos de y, caracterizando o hiperboloide de uma folha.

Resposta

Forma padrão:
\frac{(x-2)^{2}}{5}+\frac{(z-1)^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{5}=1.
Classificação: hiperboloide de uma folha, centrado em (2,0,1) com eixo principal paralelo ao eixo y.
Esboço: elipses em y=k e hipérboles nos cortes verticais, conforme descrito acima.

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