Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádricas
e pede que a coloquemos em forma canônica, classifiquemos o tipo de superfície e façamos um esboço. Para isso precisamos completar o quadrado em
e em
e depois comparar com as formas padrão de hiperboloides, elipsoides etc.
Passo 2
Vamos completar quadrados em
e
:
Substituindo na equação original:
Passo 3
Para obter a forma padrão, dividimos tudo por
:
Essa é a forma canônica da superfície.
Passo 4
Na expressão
temos dois quadrados com sinal positivo
e um com sinal negativo
, igual a
. Isso identifica um hiperboloide de uma folha, centrado em
e com eixo principal paralelo ao eixo
.
Passo 5
Para esboçar:
- O centro é
. - Em cortes por planos
fixo, obtemos elipses
que crescem conforme
aumenta.
- Em cortes por planos
ou fixos, obtemos hipérboles no plano ou .
O esboço mostra um “gargalo” em
(elipse de raio
) e depois o corpo se abre em ambos os sentidos de
, caracterizando o hiperboloide de uma folha.
Resposta
Forma padrão:
Classificação: hiperboloide de uma folha, centrado em
com eixo principal paralelo ao eixo
.
Esboço: elipses em e hipérboles nos cortes verticais, conforme descrito acima.
Esboço: elipses em