Questāo 2:Dizemos que a matriz A á combinação linear das matrizes U, V e W se existem escalares x, y e z tais que
A=x U+y V+z W .
Seria a matriz A=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 10\end{array}\right] uma combinação linear de U=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right], V=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right] e W=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -3 \\\\ 5\end{array}\right] ?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o vetor
A = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 10\end{pmatrix}
é combinação linear dos vetores
U = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad V = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad W = \begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 5\end{pmatrix},
isto é, se existem escalares x,y,z tais que
A = xU + yV + zW.
O conteúdo aqui é resolver um sistema linear que iguala cada componente de A à combinação de U,V,W.
Passo 2
Igualando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} x + y + 2z = 1,\\\ y - 3z = 3,\\\\ 5z = 10. \end{cases}
Passo 3
Da terceira equação segue
5z = 10\implies z = 2.
Passo 4
Substituindo z=2 na segunda equação, vem
y - 3\cdot2 = 3\implies y - 6 = 3\implies y = 9.
Passo 5
Com y=9 e z=2 na primeira equação, obtemos
x + 9 + 2\cdot2 = 1\implies x + 13 = 1\implies x = -12.
Passo 6
Achamos os escalares x=-12, y=9, z=2 que satisfazem A=xU+yV+zW. Logo, sim, A é combinação linear de U,V,W.
Resposta
Sim. A combinação linear existe com x=-12, y=9 e z=2.