Coloque a equação na forma-padrão, classifique as superfícies e esboce-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. Nosso objetivo é colocar essa equação na forma-padrão, identificar que tipo de superfície ela representa e fazer um esboço dela. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadráticas e como completamos o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação da forma-padrão. A equação é:
Perceba que temos termos quadráticos em
e
, além de um termo linear em
e uma constante.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para o termo
. Isso ajuda a reescrever a equação de uma forma que reconhecemos facilmente a superfície.
Comecemos com os termos que envolvem
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2, obtendo -1, e depois elevamos ao quadrado, ficando 1. Então, adicionamos e subtraímos esse valor:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Agora, a equação está na forma-padrão:
Essa forma nos diz que
está isolado, e os termos quadráticos em
e
são positivos e sumados.
Passo 6
Para classificar a superfície, reconhecemos que a equação
representa um paraboloide circular. Isso porque temos um termo linear isolado igual a uma soma de quadrados, e não há termos mistos (como
,
, etc.).
Especificamente, é um paraboloide circular que se abre na direção do eixo
, já que
está isolado e positivo.
Passo 7
Para esboçar o paraboloide, imagine que para cada valor de
, a seção transversal
é um círculo com centro em
no plano
e raio
.
Portanto, o paraboloide tem seu vértice em
e se abre positivamente ao longo do eixo
.
Resposta
A equação na forma-padrão é
. A superfície representada é um paraboloide circular que se abre na direção positiva do eixo
. O esboço mostra um paraboloide com vértice em (1, 0, 0) e simétrico em torno do eixo
.