Coloque a equação na forma-padrão, classifique as superfícies e esboce-as.
y=x^2+z^2-2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação y = x^2 + z^2 - 2x + 1 . Nosso objetivo é colocar essa equação na forma-padrão, identificar que tipo de superfície ela representa e fazer um esboço dela. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadráticas e como completamos o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação da forma-padrão. A equação é:
y = x^2 + z^2 - 2x + 1
Perceba que temos termos quadráticos em x e z , além de um termo linear em x e uma constante.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para o termo x . Isso ajuda a reescrever a equação de uma forma que reconhecemos facilmente a superfície.
Comecemos com os termos que envolvem x :
x^2 - 2x
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de x , que é -2, dividimos por 2, obtendo -1, e depois elevamos ao quadrado, ficando 1. Então, adicionamos e subtraímos esse valor:
x^2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)^2 - 1

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de volta na equação original:
y = (x - 1)^2 - 1 + z^2 + 1
Simplificando os termos constantes:
y = (x - 1)^2 + z^2

Passo 5

Agora, a equação está na forma-padrão:
y = (x - 1)^2 + z^2
Essa forma nos diz que y está isolado, e os termos quadráticos em x e z são positivos e sumados.

Passo 6

Para classificar a superfície, reconhecemos que a equação y = (x - 1)^2 + z^2 representa um paraboloide circular. Isso porque temos um termo linear isolado igual a uma soma de quadrados, e não há termos mistos (como xy , yz , etc.).
Especificamente, é um paraboloide circular que se abre na direção do eixo y , já que y está isolado e positivo.

Passo 7

Para esboçar o paraboloide, imagine que para cada valor de y , a seção transversal (x - 1)^2 + z^2 = y é um círculo com centro em (1, 0) no plano xz e raio raizy .
Portanto, o paraboloide tem seu vértice em (1, 0, 0) e se abre positivamente ao longo do eixo y .

Resposta

A equação na forma-padrão é y = (x - 1)^2 + z^2 . A superfície representada é um paraboloide circular que se abre na direção positiva do eixo y . O esboço mostra um paraboloide com vértice em (1, 0, 0) e simétrico em torno do eixo y .

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