Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x, y)=raiz2 x^2+y^2 no ponto P(1,1, raiz3). Qual o nome da superfície que é gráfico da função f?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa aqui é encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x, y) = raiz2x^2 + y^2 no ponto P(1,1,raiz3) . Além disso, vamos descobrir qual é o nome da superfície que representa o gráfico dessa função.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, planos tangentes e retas normais. Vamos passo a passo para entender cada parte!

Passo 2

Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais de f em relação a x e y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
A função é f(x, y) = raiz2x^2 + y^2 . Vamos encontrar fx e fy :
fx = partial fpartial x = 2xraiz2x^2 + y^2
fy = partial fpartial y = yraiz2x^2 + y^2

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto P(1,1,raiz3) , ou seja, quando x = 1 e y = 1 :
fx(1,1) = 2 times 1raiz2 times 1^2 + 1^2 = 2raiz3
fy(1,1) = 1raiz2 times 1^2 + 1^2 = 1raiz3

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto (x0, y0, z0) é:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores que temos:
z = raiz3 + 2raiz3(x - 1) + 1raiz3(y - 1)
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por raiz3 para facilitar a visualização:
raiz3z = 3 + 2(x - 1) + (y - 1)
Simplificando mais:
raiz3z = 2x + y
Então, a equação do plano tangente é:
2x + y - raiz3z = 0

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto P . A reta normal é aquela que é perpendicular ao plano tangente e, portanto, segue a direção do vetor gradiente nabla f no ponto P .
O vetor gradiente é dado por nabla f = ( fx, fy, -1 ) . No nosso caso:
nabla f(1,1) = ( 2raiz3, 1raiz3, -1 )
A equação paramétrica da reta normal passando por P(1,1,raiz3) é:
x = 1 + 2raiz3t
y = 1 + 1raiz3t
z = raiz3 - t
Onde t é o parâmetro.

Passo 6

Por fim, vamos identificar o nome da superfície que é o gráfico da função f(x, y) = raiz2x^2 + y^2 . Observando a forma da função, vemos que ela representa uma cilindro elliptico. Isso porque a equação z = raiz2x^2 + y^2 define uma superfície onde a altura z depende de uma combinação quadrática de x e y , formando curvas elípticas ao longo do eixo z .

Resposta

A equação do plano tangente é [2x + y - \sqrt{3}z = 0) e a equação paramétrica da reta normal é:
Além disso, a superfície que é o gráfico da função (f] é um cilindro elíptico.

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