Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto
. Qual o nome da superfície que é gráfico da função
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa aqui é encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto
. Além disso, vamos descobrir qual é o nome da superfície que representa o gráfico dessa função.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, planos tangentes e retas normais. Vamos passo a passo para entender cada parte!
Passo 2
Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
A função é
. Vamos encontrar
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto
, ou seja, quando
e
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto
é:
Substituindo os valores que temos:
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por
para facilitar a visualização:
Simplificando mais:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal ao gráfico de
no ponto
. A reta normal é aquela que é perpendicular ao plano tangente e, portanto, segue a direção do vetor gradiente
no ponto
.
O vetor gradiente é dado por
. No nosso caso:
A equação paramétrica da reta normal passando por
é:
Onde
é o parâmetro.
Passo 6
Por fim, vamos identificar o nome da superfície que é o gráfico da função
. Observando a forma da função, vemos que ela representa uma cilindro elliptico. Isso porque a equação
define uma superfície onde a altura
depende de uma combinação quadrática de
e
, formando curvas elípticas ao longo do eixo
.
Resposta
A equação do plano tangente é [2x + y - \sqrt{3}z = 0) e a equação paramétrica da reta normal é:
Além disso, a superfície que é o gráfico da função (f] é um cilindro elíptico.