Coloque a equação na forma-padrão, classifique as superfícies e esboce-as.
z=-x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para colocarmos a equação z = -x^2 + 1 na forma-padrão, classificar a superfície que ela representa e esboçá-la. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa colocar a equação na forma-padrão. A forma-padrão ajuda a identificar rapidamente o tipo de superfície que temos. No nosso caso, a equação já está isolando z , mas vamos rearranjá-la para facilitar a identificação.

Passo 3

Vamos reescrever a equação:
z = -x^2 + 1
Podemos reordenar para:
x^2 = -z + 1
Ou seja:
x^2 + z = 1
Essa é a forma-padrão da nossa equação.

Passo 4

Agora, vamos classificar a superfície. A equação x^2 + z = 1 é uma equação de um paraboloide. Mais especificamente, é um paraboloide hiperbólico, já que há uma combinação de termos quadráticos e lineares sem termos de y .

Passo 5

Para esboçar a superfície, vamos analisar como ela se comporta:
  • Como não há termo com y , a superfície é independente de y , ou seja, se estende indefinidamente ao longo do eixo y .
  • O termo x^2 indica que a superfície é aberta em relação ao eixo x .
  • O valor z = 1 é o ponto de vértice da superfície.

Resposta

A equação na forma-padrão é x^2 + z = 1 . A superfície representada é um paraboloide hiperbólico que se estende ao longo do eixo y com vértice no ponto (0, 0, 1).

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