Coloque a equação na forma-padrão, classifique as superfícies e esboce-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para colocarmos a equação
na forma-padrão, classificar a superfície que ela representa e esboçá-la. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa colocar a equação na forma-padrão. A forma-padrão ajuda a identificar rapidamente o tipo de superfície que temos. No nosso caso, a equação já está isolando
, mas vamos rearranjá-la para facilitar a identificação.
Passo 3
Vamos reescrever a equação:
Podemos reordenar para:
Ou seja:
Essa é a forma-padrão da nossa equação.
Passo 4
Agora, vamos classificar a superfície. A equação
é uma equação de um paraboloide. Mais especificamente, é um paraboloide hiperbólico, já que há uma combinação de termos quadráticos e lineares sem termos de
.
Passo 5
Para esboçar a superfície, vamos analisar como ela se comporta:
- Como não há termo com
, a superfície é independente de , ou seja, se estende indefinidamente ao longo do eixo . - O termo
indica que a superfície é aberta em relação ao eixo . - O valor
é o ponto de vértice da superfície.
Resposta
A equação na forma-padrão é
. A superfície representada é um paraboloide hiperbólico que se estende ao longo do eixo
com vértice no ponto (0, 0, 1).