Suponhamos que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação z=1000-0,005 x^2-0,01 y^2, onde x, y e z são medidos em metros e você está em um ponto de coordenadas (60,40,966). O eixo x positivo aponta para o leste e o eixo y positivo aponta para o norte.
Em que direção à inclinação da montanha é maior? Qual é a taxa de inclinação (elevação) nessa direção?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma montanha cuja forma é descrita pela equação z = 1000 - 0,005x^2 - 0,01y^2 . Estamos no ponto de coordenadas (60, 40, 966). Queremos descobrir em qual direção a inclinação da montanha é maior e qual é essa taxa de inclinação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente o gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de máxima inclinação de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função z(x, y) em relação a x e y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
partial zpartial x = ddx ( 1000 - 0,005x^2 - 0,01y^2 ) = -0,01x
partial zpartial y = ddy ( 1000 - 0,005x^2 - 0,01y^2 ) = -0,02y

Passo 3

Com as derivadas parciais, formamos o vetor gradiente da função z , que é dado por:
nabla z = ( partial zpartial x, partial zpartial y ) = (-0,01x, -0,02y)
No ponto específico em que estamos, (x, y) = (60, 40) , então:
nabla z = (-0,01 times 60, -0,02 times 40) = (-0,6, -0,8)

Passo 4

A direção na qual a inclinação da montanha é maior é exatamente a direção do vetor gradiente. Então, a direção de máxima inclinação é na direção do vetor (-0,6, -0,8) . Para simplificar, podemos expressar essa direção como um vetor unitário (de comprimento 1):
Primeiro, calculamos a magnitude do vetor:
Magnitude = raiz(-0,6)^2 + (-0,8)^2 = raiz0,36 + 0,64 = raiz1 = 1
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é (-0,6, -0,8) .

Passo 5

A taxa de inclinação na direção de máxima subida é igual à magnitude do vetor gradiente. Como já calculamos a magnitude:
Taxa de inclinação = 1 , m/m çã
Isso significa que para cada metro que você anda nessa direção, a elevação aumenta 1 metro.

Resposta

A inclinação da montanha é maior na direção do vetor (-0,6, -0,8) , que aponta para sudoeste, e a taxa de inclinação nessa direção é de 1 metro por metro.

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