Suponhamos que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação
, onde
e
são medidos em metros e você está em um ponto de coordenadas
. O eixo
positivo aponta para o leste e o eixo
positivo aponta para o norte.
Em que direção à inclinação da montanha é maior? Qual é a taxa de inclinação (elevação) nessa direção?
Em que direção à inclinação da montanha é maior? Qual é a taxa de inclinação (elevação) nessa direção?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma montanha cuja forma é descrita pela equação
. Estamos no ponto de coordenadas (60, 40, 966). Queremos descobrir em qual direção a inclinação da montanha é maior e qual é essa taxa de inclinação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente o gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de máxima inclinação de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 3
Com as derivadas parciais, formamos o vetor gradiente da função
, que é dado por:
No ponto específico em que estamos,
, então:
Passo 4
A direção na qual a inclinação da montanha é maior é exatamente a direção do vetor gradiente. Então, a direção de máxima inclinação é na direção do vetor
. Para simplificar, podemos expressar essa direção como um vetor unitário (de comprimento 1):
Primeiro, calculamos a magnitude do vetor:
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é
.
Passo 5
A taxa de inclinação na direção de máxima subida é igual à magnitude do vetor gradiente. Como já calculamos a magnitude:
Isso significa que para cada metro que você anda nessa direção, a elevação aumenta 1 metro.
Resposta
A inclinação da montanha é maior na direção do vetor
, que aponta para sudoeste, e a taxa de inclinação nessa direção é de 1 metro por metro.