Identifique e esboce a curva dada por:
\gamma(t)=(\sin t, \sin t, t), t \geq 0.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\gamma(t)=(\sin t,\sin t,t),\quad t\ge 0,
e pede que ela seja identificada (descrever sua natureza) e esboçada. Informação importante fornecida:
  • A primeira e a segunda componentes são iguais: \sin t e \sin t.
  • A terceira componente é t, cresce linearmente com o parâmetro e é não negativa porque t\ge0.
    As perguntas implícitas: a que conjunto do espaço \mathbb{R}^3 essa curva pertence (equações que a caracterizam) e como desenhá-la (formas e pontos-chave a marcar)?

Passo 2

Verificação de relações entre coordenadas (eliminação do parâmetro): como a terceira coordenada é z=t, pode-se substituir t por z. Então as duas primeiras coordenadas ficam iguais a \sin z. Logo a curva satisfaz as relações
x=y,\qquad x=\sin z.
Em forma de conjunto:
\gamma(t)=\bigl(\sin t,\sin t,t\bigr)\\ (t\ge0)\quad\Longleftrightarrow\quad \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\\ x=y=\sin z,\\ z\ge0\}.
Isto já identifica a curva: é o gráfico da função x=\sin z (com y igual a x) contido no plano x=y.

Passo 3

Consequências geométricas importantes (o que isso significa para o esboço):
  • A curva está inteiramente no plano \{(x,y,z):x=y\} (um plano vertical que contém o eixo z e a reta diagonal no plano z=0).
  • Como z=t é estritamente crescente com t, dois parâmetros distintos não podem dar o mesmo ponto: se \gamma(t_1)=\gamma(t_2) então t_1=t_2. Portanto não há auto-interseções.
  • O x (e y) ficam sempre entre -1 e 1, porque x=\sin z. Assim a curva fica dentro da “faixa” -1\le x\le1 (e -1\le y\le1) enquanto sobe indefinidamente em z (não é fechada).

Passo 4

Como reduzir para um gráfico 2D dentro do plano x=y (fórmula conveniente para desenhar): no plano x=y podemos usar as coordenadas (x,z) (já que y=x). A curva é então o gráfico unidimensional
x=\sin z,\qquad z\ge0.
Isto é uma senoide ao longo da direção z com amplitude 1 e período 2\pi, situada sobre a reta diagonal x=y. Alternativamente, se preferir coordenada ortonormal ao longo do plano, a componente ao longo do vetor unitário u=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0) vale
u\text{-coord}=\sqrt{2}\sin t,
mas para esboçar basta usar x=\sin z.

Passo 5

Pontos e características-chave para marcar no esboço (valores fáceis que ajudam a desenhar):
  • t=0\Rightarrow \gamma(0)=(0,0,0).
  • t=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow \gamma\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(1,1,\tfrac{\pi}{2}).
  • t=\pi\Rightarrow \gamma(\pi)=(0,0,\pi).
  • t=\dfrac{3\pi}{2}\Rightarrow \gamma\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=(-1,-1,\tfrac{3\pi}{2}).
  • t=2\pi\Rightarrow \gamma(2\pi)=(0,0,2\pi).
    Use esses pontos para traçar uma senoide: entre z=0 e z=2\pi o x oscila de 0 até 1, volta a 0, vai a -1 e volta a 0. Repetir esse padrão para z>2\pi. Como t\ge0, desenhar a senoide apenas para z\ge0 subindo no sentido crescente de z.

Passo 6

Direção/orientação e tangente (para indicar setas no esboço): a derivada é
\gamma'(t)=(\cos t,\cos t,1).
Isto mostra que a componente vertical é sempre 1 (portanto a curva sobe sempre em z), enquanto a componente na direção x=y oscila entre -1 e 1. Exemplos: em t=0 a tangente é (1,1,1) (sobe para a frente), em t=\tfrac{\pi}{2} a tangente é (0,0,1) (momentaneamente vertical), em t=\pi é (-1,-1,1) (sobe para trás).

Passo 7

Como fazer o esboço prático (passos concretos):
  1. Desenhar o plano diagonal x=y (um plano vertical visto como uma folha inclinada que contém o eixo z).
  2. No plano x=y, escolher um eixo vertical para z e um eixo horizontal dentro do plano para x (com y=x).
  3. Traçar a curva x=\sin z para z\ge0: marcar os pontos do passo 5 e ligar com uma senoide contínua. Indicar a orientação crescente em z (setas apontando para cima) e notar que x fica entre -1 e 1.
  4. Opcional: desenhar algumas tangentes usando \gamma'(t) para indicar a inclinação local.

Resposta

A curva é o gráfico da função x=\sin z no plano x=y, isto é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\\ x=y=\sin z,\\ z\ge0\}.

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