Identifique e esboce a curva dada por:
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
,
e pede que ela seja identificada (descrever sua natureza) e esboçada. Informação importante fornecida:
e pede que ela seja identificada (descrever sua natureza) e esboçada. Informação importante fornecida:
- A primeira e a segunda componentes são iguais:
e . - A terceira componente é
, cresce linearmente com o parâmetro e é não negativa porque .
As perguntas implícitas: a que conjunto do espaçoessa curva pertence (equações que a caracterizam) e como desenhá-la (formas e pontos-chave a marcar)?
Passo 2
Verificação de relações entre coordenadas (eliminação do parâmetro): como a terceira coordenada é
, pode-se substituir
por
. Então as duas primeiras coordenadas ficam iguais a
. Logo a curva satisfaz as relações
Em forma de conjunto:
Isto já identifica a curva: é o gráfico da função
(com
igual a
) contido no plano
.
Passo 3
Consequências geométricas importantes (o que isso significa para o esboço):
- A curva está inteiramente no plano
(um plano vertical que contém o eixo e a reta diagonal no plano ). - Como
é estritamente crescente com , dois parâmetros distintos não podem dar o mesmo ponto: se então . Portanto não há auto-interseções. - O
(e ) ficam sempre entre e , porque . Assim a curva fica dentro da “faixa” (e ) enquanto sobe indefinidamente em (não é fechada).
Passo 4
Como reduzir para um gráfico 2D dentro do plano
(fórmula conveniente para desenhar): no plano
podemos usar as coordenadas
(já que
). A curva é então o gráfico unidimensional
Isto é uma senoide ao longo da direção
com amplitude
e período
, situada sobre a reta diagonal
. Alternativamente, se preferir coordenada ortonormal ao longo do plano, a componente ao longo do vetor unitário
vale
mas para esboçar basta usar
.
Passo 5
Pontos e características-chave para marcar no esboço (valores fáceis que ajudam a desenhar):
-
. -
. -
. -
. -
.
Use esses pontos para traçar uma senoide: entree o oscila de até , volta a , vai a e volta a . Repetir esse padrão para . Como , desenhar a senoide apenas para subindo no sentido crescente de .
Passo 6
Direção/orientação e tangente (para indicar setas no esboço): a derivada é
Isto mostra que a componente vertical é sempre
(portanto a curva sobe sempre em
), enquanto a componente na direção
oscila entre
e
. Exemplos: em
a tangente é
(sobe para a frente), em
a tangente é
(momentaneamente vertical), em
é
(sobe para trás).
Passo 7
Como fazer o esboço prático (passos concretos):
- Desenhar o plano diagonal
(um plano vertical visto como uma folha inclinada que contém o eixo ). - No plano
, escolher um eixo vertical para e um eixo horizontal dentro do plano para (com ). - Traçar a curva
para : marcar os pontos do passo 5 e ligar com uma senoide contínua. Indicar a orientação crescente em (setas apontando para cima) e notar que fica entre e . - Opcional: desenhar algumas tangentes usando
para indicar a inclinação local.
Resposta
A curva é o gráfico da função
no plano
, isto é