Coloque a equação na forma reduzida, encontre as interseções da quádrica com os planos xy, yz e xz e, em seguida, faça um esboço da quádrica.
Passo 1
O enunciado dá a quadric
e pede: colocar na forma reduzida (canônica), achar as interseções com os planos coordenados
,
e
, e depois esboçar a superfície. Vamos usar álgebra elementar para normalizar a equação e depois analisar cada corte.
Passo 2
Para reduzir a forma, dividimos tudo por
:
que simplifica para
Passo 3
Analisando os coeficientes, temos dois termos positivos (
e
) e um negativo (
). Isso caracteriza um hiperboloide de uma folha cujo eixo principal está ao longo do eixo
.
Passo 4
Interseção com o plano
(
):
que é uma hipérbole no plano
.
Passo 5
Interseção com o plano
(
):
que é uma elipse no plano
.
Passo 6
Interseção com o plano
(
):
que é outra hipérbole no plano
.
Passo 7
Esboço da superfície:
é um hiperboloide de uma folha centrado na origem, com eixo ao longo de . As seções transversais perpendiculares a
(ou seja, em planos
) são elipses dadas por
é um hiperboloide de uma folha centrado na origem, com eixo ao longo de
e as seções longitudinais nos planos
(x
) são elipses, enquanto nos planos
e
são hipérboles. Visualmente lembra um “colchão” que se estende indefinidamente ao longo do eixo
, “abrindo” em ambas as direções.
Resposta
A forma reduzida é
Interseções:
o plano (
):
;
o plano (
):
;
o plano (
):
.
Trata-se de um hiperboloide de uma folha com eixo ao longo de .
o plano
o plano
o plano
Trata-se de um hiperboloide de uma folha com eixo ao longo de