Coloque a equação na forma reduzida, encontre as interseções da quádrica com os planos xy, yz e xz e, em seguida, faça um esboço da quádrica.
z^2-4 x^2+2 y^2=8

Passo 1

O enunciado dá a quadric
z^2 - 4x^2 + 2y^2 = 8
e pede: colocar na forma reduzida (canônica), achar as interseções com os planos coordenados xy, yz e xz, e depois esboçar a superfície. Vamos usar álgebra elementar para normalizar a equação e depois analisar cada corte.

Passo 2

Para reduzir a forma, dividimos tudo por 8:
z^28 - 4x^28 + 2y^28 = 1
que simplifica para
z^28 - x^22 + y^24 = 1

Passo 3

Analisando os coeficientes, temos dois termos positivos ( z^2/8 e y^2/4) e um negativo ( -x^2/2). Isso caracteriza um hiperboloide de uma folha cujo eixo principal está ao longo do eixo x.

Passo 4

Interseção com o plano xy ( z=0):
-4x^2 + 2y^2 = 8 Longrightarrow y^2 - 2x^2 = 4,
que é uma hipérbole no plano z=0.

Passo 5

Interseção com o plano yz ( x=0):
z^2 + 2y^2 = 8 Longrightarrow z^28 + y^24 = 1,
que é uma elipse no plano x=0.

Passo 6

Interseção com o plano xz ( y=0):
z^2 - 4x^2 = 8,
que é outra hipérbole no plano y=0.

Passo 7

Esboço da superfície:
é um hiperboloide de uma folha centrado na origem, com eixo ao longo de x. As seções transversais perpendiculares a x (ou seja, em planos x=const) são elipses dadas por
z^28 + y^24 = 1 + x^22,
e as seções longitudinais nos planos yz (x =0) são elipses, enquanto nos planos xy e xz são hipérboles. Visualmente lembra um “colchão” que se estende indefinidamente ao longo do eixo x, “abrindo” em ambas as direções.

Resposta

A forma reduzida é
z^28 - x^22 + y^24 = 1
Interseções:
o plano xy ( z=0): y^2 - 2x^2 = 4;
o plano yz ( x=0): z^28 + y^24 = 1;
o plano xz ( y=0): z^2 - 4x^2 = 8.
Trata-se de um hiperboloide de uma folha com eixo ao longo de x.

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