Coloque a equação na forma reduzida, encontre as interseções da quádrica com os planos xy, yz e xz e, em seguida, faça um esboço da quádrica.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede: (a) colocar em forma reduzida (canônica), (b) achar as interseções com os planos
,
e
, e (c) esboçar a quádrica. O conteúdo é estudo de superfícies quádricas, identificando sua forma padrão e seções com planos coordenados.
Passo 2
Para obter a forma reduzida dividimos ambos os lados por
:
Esse é o modelo
com
,
,
. Trata-se de um hiperbóide de duas folhas ao longo do eixo
.
Passo 3
Intersecção com o plano
(
):
não há solução real. Logo não há interseção com o plano
.
Passo 4
Interseção com o plano
(
):
que é uma hipérbola no plano
.
Interseção com o plano (
):
Interseção com o plano
que é uma hipérbola no plano
.
Passo 5
Para esboçar, note que:
- Para
não há pontos (pois implicaria soma de quadrados negativa). - Em
as folhas começam em pontos . - Para cada
, fixando , a seção é uma circunferência de raio .
Isso gera duas “tigelas” simétricas em torno do plano, afastando-se de .
Resposta
Forma reduzida:
Interseções:
- Plano
: nenhuma (nenhuma solução real). - Plano
: hipérbola . - Plano
: hipérbola .
Esboço: hiperbóide de duas folhas com vértices eme seções circulares para cada .