Coloque a equação na forma reduzida, encontre as interseções da quádrica com os planos xy, yz e xz e, em seguida, faça um esboço da quádrica.
z^2-4 x^2-4 y^2=4

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z^2 - 4x^2 - 4y^2 = 4
e pede: (a) colocar em forma reduzida (canônica), (b) achar as interseções com os planos xy, xz e yz, e (c) esboçar a quádrica. O conteúdo é estudo de superfícies quádricas, identificando sua forma padrão e seções com planos coordenados.

Passo 2

Para obter a forma reduzida dividimos ambos os lados por 4:
z^24 ;-; x^2 ;-; y^2 ;=;1
Esse é o modelo
z^2a^2 - x^2b^2 - y^2c^2 = 1
com a=2, b=1, c=1. Trata-se de um hiperbóide de duas folhas ao longo do eixo z.

Passo 3

Intersecção com o plano xy ( z=0):
0 -4x^2 -4y^2=4 Longrightarrow x^2+y^2=-1,
não há solução real. Logo não há interseção com o plano xy.

Passo 4

Interseção com o plano xz ( y=0):
z^2-4x^2=4 Longrightarrow z^24-x^2=1,
que é uma hipérbola no plano xz.
Interseção com o plano yz ( x=0):
z^2-4y^2=4 Longrightarrow z^24-y^2=1,
que é uma hipérbola no plano yz.

Passo 5

Para esboçar, note que:
  • Para |z|<2 não há pontos (pois z^2/4<1 implicaria soma de quadrados negativa).
  • Em z= pm2 as folhas começam em pontos (0,0,pm2).
  • Para cada |z|>2, fixando z=k, a seção é x^2+y^2 = k^24-1, uma circunferência de raio raizk^2/4-1.
    Isso gera duas “tigelas” simétricas em torno do plano xy, afastando-se de z=0.

Resposta

Forma reduzida:
z^24 - x^2 - y^2 = 1
Interseções:
  • Plano xy: nenhuma (nenhuma solução real).
  • Plano xz: hipérbola z^24-x^2=1.
  • Plano yz: hipérbola z^24-y^2=1.
    Esboço: hiperbóide de duas folhas com vértices em (0,0,pm2) e seções circulares para cada |z|>2.

Exercícios relacionados