Coloque a equação na forma reduzida, encontre as interseções da quádrica com os planos xy, yz e xz e, em seguida, faça um esboço da quádrica.
z=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado dá a quádricas
z = x^2 + y^2
e pede (i) colocá-la na forma reduzida (ou canônica), (ii) achar as interseções com os planos xy, xz e yz, e (iii) esboçar a superfície. O tipo dessa quádricas é um paraboloide elíptico de revolução.

Passo 2

Para identificar a forma reduzida, colocamos todos os termos num só lado e com coeficientes normalizados. Partimos de
z - x^2 - y^2 = 0
Dividindo por 1 fica
x^21 + y^21 - z1 = 0,
o que mostra que é um paraboloide elíptico (não há termos mistos xy, xz ou yz e os coeficientes de x^2, y^2 têm mesmo sinal).

Passo 3

Interseções com os planos coordenados:
– Plano xy ( z=0):
Substituindo z=0 em z = x^2+y^2
0 = x^2 + y^2implies x=0,;y=0
Logo a interseção é só o ponto (0,0,0).
– Plano xz ( y=0):
Substituindo y=0 em z = x^2+y^2
z = x^2
É uma parábola no plano xz, vértice na origem e abertura para z>0.
– Plano yz ( x=0):
Substituindo x=0 em z = x^2+y^2
z = y^2
É uma parábola no plano yz, vértice na origem e abertura para z>0.

Passo 4

Esboço da quádricas:
É um paraboloide de revolução em torno do eixo z, com vértice em (0,0,0) e “bojo” voltado para cima. As curvas de nível z=c são círculos de raio raizc.

Resposta

Forma reduzida:
x^21 + y^21 - z1 = 0
Interseção com o plano xy ( z=0):
(0,0,0).
Interseção com o plano xz ( y=0):
z = x^2
Interseção com o plano yz ( x=0):
z = y^2
Esboço: paraboloide elíptico de revolução com vértice na origem, aberto para z>0.

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