Coloque a equação na forma reduzida, encontre as interseções da quádrica com os planos xy, yz e xz e, em seguida, faça um esboço da quádrica.
Passo 1
O enunciado dá a quádricas
e pede (i) colocá-la na forma reduzida (ou canônica), (ii) achar as interseções com os planos
,
e
, e (iii) esboçar a superfície. O tipo dessa quádricas é um paraboloide elíptico de revolução.
Passo 2
Para identificar a forma reduzida, colocamos todos os termos num só lado e com coeficientes normalizados. Partimos de
Dividindo por
fica
o que mostra que é um paraboloide elíptico (não há termos mistos
,
ou
e os coeficientes de
,
têm mesmo sinal).
Passo 3
Interseções com os planos coordenados:
– Plano
(
):
Substituindo em
dá
Substituindo
Logo a interseção é só o ponto
.
– Plano
(
):
Substituindo em
dá
Substituindo
É uma parábola no plano
, vértice na origem e abertura para
.
– Plano
(
):
Substituindo em
dá
Substituindo
É uma parábola no plano
, vértice na origem e abertura para
.
Passo 4
Esboço da quádricas:
É um paraboloide de revolução em torno do eixo , com vértice em
e “bojo” voltado para cima. As curvas de nível
são círculos de raio
.
É um paraboloide de revolução em torno do eixo
Resposta
Forma reduzida:
Interseção com o plano
(
):
.
Interseção com o plano
(
):
Interseção com o plano
(
):
Esboço: paraboloide elíptico de revolução com vértice na origem, aberto para
.