Faça o reconhecimento e esboce a cônica abaixo. Determine centro, vértices, focos, excentricidade e, se for o caso, encontre equações das assíntotas.
7 x^2-9 y^2+28 x+54 y-116=0

Passo 1

O enunciado pede para reconhecer a cônica
7x^2-9y^2+28x+54y-116=0
ou seja, identificar de que tipo é (par’abola, elipse, hip’erbole···), e depois determinar seu centro, v’ertices, focos, excentricidade e, no caso de hip’erbole, as ass’ıntotas. Vamos usar o m’etodo de completar quadrados para coloc’a-la na forma padr~ao.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados:
7l(x^2+4xr);-;9l(y^2-6yr);-;116=0
Dentro dos parênteses:
x^2+4x=(x+2)^2-4, y^2-6y=(y-3)^2-9

Passo 3

Substituindo na equação original:
7l((x+2)^2-4r);-;9l((y-3)^2-9r);-;116=0
7(x+2)^2-28;-;9(y-3)^2+81;-;116=0
7(x+2)^2-9(y-3)^2-63=0 Longrightarrow 7(x+2)^2-9(y-3)^2=63
Dividindo tudo por 63:
(x+2)^29-(y-3)^27=1
É uma hipérbole com eixo transverso na direção x.

Passo 4

Identificamos os parâmetros da forma padrão
(x-h)^2a^2-(y-k)^2b^2=1:
(h,k)=(-2,3), a^2=9;Rightarrow;a=3, b^2=7;Rightarrow;b=raiz7
Como em hipérbole c^2=a^2+b^2, temos
c^2=9+7=16Rightarrow c=4

Passo 5

Cálculo dos vértices e focos:
  • Centro: l(h,kr)=(-2,3).
  • Vértices: (hpm a,k)=(-2pm3,,3), i.e.
(1,3)e(-5,3)
  • Focos: (hpm c,k)=(-2pm4,,3), i.e.
(2,3)e(-6,3)
  • Excentricidade:
e=ca=43

Passo 6

Equações das assíntotas da hipérbole centrada em (h,k) com eixo horizontal:
y-k=pmba,(x-h) ;Longrightarrow; y-3=pmraiz73(x+2)

Resposta

Centro: (-2,3)
Vértices: (1,3) e (-5,3)
Focos: (2,3) e (-6,3)
Excentricidade: e=tfrac43
Assíntotas:
y-3=raiz73(x+2) e y-3=-raiz73(x+2)

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