Coloque a equação na forma reduzida, encontre as interseções da quádrica com os planos xy, yz e xz e, em seguida, faça um esboço da quádrica.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever
na forma reduzida, identificar as curvas de interseção com os planos coordenados
,
e
e, por fim, esboçar a superfície. O conteúdo é classificação de seções cônicas e esboço de quadricas.
Passo 2
Para colocar na forma padrão, isolamos
:
portanto
Isto mostra que a superfície é um parabolóide elíptico com eixo no sentido positivo de
e vértice em
.
Passo 3
Interseção com o plano
(
):
Substituindo em
fica
Substituindo
que é uma parábola no plano
.
Passo 4
Interseção com o plano
(
):
Substituindo em
fica
Substituindo
que é uma parábola no plano
.
Passo 5
Interseção com o plano
(
):
Substituindo em
dá
Substituindo
e a única solução real é
. Logo a interseção é o ponto
.
Passo 6
Para esboçar, note que:
- Seções horizontais
são círculos de raio no plano . - Seções verticais em
const ou const são parábolas abertas para . - O vértice está em
e a superfície se abre no sentido de positivo.
Resposta
A forma reduzida é
Interseções:
– No plano (
): parábola
.
– No plano (
): parábola
.
– No plano (
): ponto
.
Esboço: parabolóide elíptico com vértice em que se abre para
.
– No plano
– No plano
– No plano
Esboço: parabolóide elíptico com vértice em