Coloque a equação na forma reduzida, encontre as interseções da quádrica com os planos xy, yz e xz e, em seguida, faça um esboço da quádrica.
x^2+z^2-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
x^2+z^2-4y=0
na forma reduzida, identificar as curvas de interseção com os planos coordenados xy, yz e xz e, por fim, esboçar a superfície. O conteúdo é classificação de seções cônicas e esboço de quadricas.

Passo 2

Para colocar na forma padrão, isolamos y:
4y = x^2+z^2
portanto
y = x^2+z^24
Isto mostra que a superfície é um parabolóide elíptico com eixo no sentido positivo de y e vértice em (0,0,0).

Passo 3

Interseção com o plano xy ( z=0):
Substituindo z=0 em y=x^2+z^24 fica
y = x^24,
que é uma parábola no plano xy.

Passo 4

Interseção com o plano yz ( x=0):
Substituindo x=0 em y=x^2+z^24 fica
y = z^24,
que é uma parábola no plano yz.

Passo 5

Interseção com o plano xz ( y=0):
Substituindo y=0 em x^2+z^2-4y=0
x^2+z^2=0
e a única solução real é (x,z)=(0,0). Logo a interseção é o ponto (0,0,0).

Passo 6

Para esboçar, note que:
  1. Seções horizontais y=k>0 são círculos de raio 2raizk no plano y=k.
  2. Seções verticais em x=const ou z=const são parábolas abertas para y>0.
  3. O vértice está em (0,0,0) e a superfície se abre no sentido de y positivo.

Resposta

A forma reduzida é
y = x^2+z^24
Interseções:
– No plano xy ( z=0): parábola y=tfracx^24.
– No plano yz ( x=0): parábola y=tfracz^24.
– No plano xz ( y=0): ponto (0,0,0).
Esboço: parabolóide elíptico com vértice em (0,0,0) que se abre para y>0.

Exercícios relacionados