Coloque as equações diferenciais na forma x^{\prime}=g(t) h(x) e resolva pelo método de separação de variáveis.
x^{\prime}=(1+t)(2+x)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: x'=(1+t)(2+x).
  • O que pedem: colocar a equação na forma x'=g(t)\,h(x) e resolver pelo método de separação de variáveis (ou seja, encontrar a família geral de soluções).
Informações relevantes dadas:
  • A equação já aparece como produto de uma função de t e uma função de x: o fator que depende só de t é 1+t e o fator que depende só de x é 2+x.
  • Devemos lembrar de verificar soluções constantes (equilíbrios) que surgem quando h(x)=0.

Passo 2

Identificar g(t) e h(x) e justificar que a equação é separável.
  • Podemos reescrever diretamente como x'=g(t)\,h(x) com g(t)=1+t,\qquad h(x)=2+x.
  • A equação é separável porque o lado direito é produto de uma função só de t por uma função só de x. Isso permite transformar a equação diferencial em uma igualdade entre uma função de x multiplicada por dx e uma função de t multiplicada por dt, lembrando que x'=\dfrac{dx}{dt}.

Passo 3

Procurar soluções constantes antes de separar (caso especial).
  • Soluções constantes ocorrem quando x'(t)=0 para todo t. Pela equação x'=(1+t)(2+x), isso acontece se e somente se 2+x=0, ou seja, x(t)\equiv -2é uma solução constante (equilíbrio). Vamos agora encontrar as soluções não constantes.

Passo 4

Separar as variáveis para as soluções não constantes e escrever a igualdade a integrar.
  • Para soluções onde 2+x\neq 0 podemos separar as variáveis dividindo por 2+x e multiplicando por dt: \frac{dx}{2+x}=(1+t)\,dt.

Passo 5

Integrar ambos os lados e justificar cada passo (substituição simples à esquerda).
  • À esquerda, faça a substituição u=2+x. Então du=dx e \int \frac{dx}{2+x}=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+\tilde C=\ln|2+x|+\tilde C.
  • À direita: \int (1+t)\,dt=\int 1\,dt+\int t\,dt=t+\frac{t^{2}}{2}+C,onde C é constante de integração. Combinando as constantes (podemos absorver \tilde C em C) obtemos \ln|2+x|=t+\frac{t^{2}}{2}+C.

Passo 6

Resolver a igualdade obtida para x, exponenciar e tratar a constante de integração.
  • Exponenciando ambos os lados: |2+x|=e^{t+\tfrac{t^{2}}{2}+C}=e^{C}\,e^{t+\tfrac{t^{2}}{2}}.
  • Denotando A=e^{C} (com A>0), obtemos |2+x|=A\,e^{t+\tfrac{t^{2}}{2}}. Removendo o valor absoluto e permitindo C real (assinatura incluída) escrevemos a família geral de soluções não constantes como 2+x=C\,e^{t+\tfrac{t^{2}}{2}},onde agora C\in\mathbb{R} é uma constante arbitrária (se C=0 recupera-se a solução constante x\equiv-2).

Passo 7

Isolar x(t) e apresentar a resposta final explicando o papel da constante.
  • Isolando x: x(t)=-2+C\,e^{t+\tfrac{t^{2}}{2}},\qquad C\in\mathbb{R}.
  • Observação prática: dado um valor inicial x(t_0)=x_0, determina-se C por C=(x_0+2)\,e^{-\left(t_0+\tfrac{t_0^{2}}{2}\right)}.

Resposta

x(t)=-2+C\,e^{t+\tfrac{t^{2}}{2}},\quad C\in\mathbb{R}

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