Coloque as equações diferenciais na forma
e resolva pelo método de separação de variáveis.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Enunciado:
. - O que pedem: colocar a equação na forma
e resolver pelo método de separação de variáveis (ou seja, encontrar a família geral de soluções).
Informações relevantes dadas:
- A equação já aparece como produto de uma função de
e uma função de : o fator que depende só de é e o fator que depende só de é . - Devemos lembrar de verificar soluções constantes (equilíbrios) que surgem quando
.
Passo 2
Identificar
e
e justificar que a equação é separável.
- Podemos reescrever diretamente como
com - A equação é separável porque o lado direito é produto de uma função só de
por uma função só de . Isso permite transformar a equação diferencial em uma igualdade entre uma função de multiplicada por e uma função de multiplicada por , lembrando que .
Passo 3
Procurar soluções constantes antes de separar (caso especial).
- Soluções constantes ocorrem quando
para todo . Pela equação , isso acontece se e somente se , ou seja, é uma solução constante (equilíbrio). Vamos agora encontrar as soluções não constantes.
Passo 4
Separar as variáveis para as soluções não constantes e escrever a igualdade a integrar.
- Para soluções onde
podemos separar as variáveis dividindo por e multiplicando por :
Passo 5
Integrar ambos os lados e justificar cada passo (substituição simples à esquerda).
- À esquerda, faça a substituição
. Então e - À direita:
onde é constante de integração. Combinando as constantes (podemos absorver em ) obtemos
Passo 6
Resolver a igualdade obtida para
, exponenciar e tratar a constante de integração.
- Exponenciando ambos os lados:
- Denotando
(com ), obtemos . Removendo o valor absoluto e permitindo real (assinatura incluída) escrevemos a família geral de soluções não constantes como onde agora é uma constante arbitrária (se recupera-se a solução constante ).
Passo 7
Isolar
e apresentar a resposta final explicando o papel da constante.
- Isolando
: - Observação prática: dado um valor inicial
, determina-se por