Coloque as equações diferenciais na forma
e resolva pelo método de separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado pede que se coloque a equação diferencial na forma
e que se resolva pelo método de separação de variáveis. A equação fornecida é
Informações dadas e o que é desconhecido:
- A incógnita é a função
. - A derivada de
em relação a é denotada por . - A tarefa é: (1) escrever a equação como
; (2) resolver por separação de variáveis, obtendo a família geral de soluções (constante de integração incluída).
Passo 2
Colocar a equação na forma
. Começo isolando
dividindo ambos os lados por
(note que isso exige
no intervalo considerado; a solução identicamente zero não é solução aqui porque o lado direito não é identicamente zero):
Portanto uma escrita do tipo desejado é
Justificativa curta: escolhi separação porque a equação, depois de isolar
, fica como produto de uma função só de
por outra só de
, condição clássica para aplicar separação de variáveis.
Passo 3
Separar variáveis. Lembrando que
, reescrevo:
Multiplico ambos os lados por
e por
para agrupar os
com
e os
com
:
Isto é a forma separada: todos os termos envolvendo
estão no lado esquerdo e todos os termos envolvendo
no lado direito.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Explico a regra que uso: a integral de uma soma é a soma das integrais, e a regra da potência diz que
para
. Agora as integrais:
Calculo cada integral:
Somando as parcelas do lado direito e agrupando constantes de integração em uma só constante
, obtemos
Passo 5
Simplificar a expressão e resolver para
. Multiplico ambos os lados por
para evitar frações:
onde
é uma constante arbitrária real. Tomando raiz quadrada, a solução geral (em cada intervalo onde o lado direito tem sinal apropriado) é
Observações importantes para a prova e para uso prático:
- O sinal
produz duas famílias (ramificações) de soluções; a escolha entre ou é feita por uma condição inicial, se houver. - A separação dividiu por
, então a solução obtida vale em intervalos onde . A função identicamente zero não é solução dessa equação porque o lado direito não é zero em geral. - Para soluções reais, o radicando
deve ser não negativo no intervalo considerado; para radicandos negativos surgiriam soluções complexas.