Coloque as equações diferenciais na forma x^{\prime}=g(t) h(x) e resolva pelo método de separação de variáveis.
x x^{\prime}=1+2 t+3 t^{2}

Passo 1

O enunciado pede que se coloque a equação diferencial na forma x' = g(t)\,h(x) e que se resolva pelo método de separação de variáveis. A equação fornecida é
x\,x' = 1 + 2t + 3t^2.
Informações dadas e o que é desconhecido:
  • A incógnita é a função x(t).
  • A derivada de x em relação a t é denotada por x'=\dfrac{dx}{dt}.
  • A tarefa é: (1) escrever a equação como x' = g(t)\,h(x); (2) resolver por separação de variáveis, obtendo a família geral de soluções (constante de integração incluída).

Passo 2

Colocar a equação na forma x' = g(t)\,h(x). Começo isolando x' dividindo ambos os lados por x (note que isso exige x\neq 0 no intervalo considerado; a solução identicamente zero não é solução aqui porque o lado direito não é identicamente zero):
x' = \frac{1+2t+3t^2}{x}.
Portanto uma escrita do tipo desejado é
g(t)=1+2t+3t^2,\qquad h(x)=\frac{1}{x}.
Justificativa curta: escolhi separação porque a equação, depois de isolar x', fica como produto de uma função só de t por outra só de x, condição clássica para aplicar separação de variáveis.

Passo 3

Separar variáveis. Lembrando que x'=\dfrac{dx}{dt}, reescrevo:
\frac{dx}{dt}=\frac{1+2t+3t^2}{x}.
Multiplico ambos os lados por dt e por x para agrupar os x com dx e os t com dt:
x\,dx = (1+2t+3t^2)\,dt.
Isto é a forma separada: todos os termos envolvendo x estão no lado esquerdo e todos os termos envolvendo t no lado direito.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Explico a regra que uso: a integral de uma soma é a soma das integrais, e a regra da potência diz que \displaystyle\int t^n\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Agora as integrais:
\int x\,dx = \int (1+2t+3t^2)\,dt.
Calculo cada integral:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C_1,
\int 1\,dt = t + C_{2,1},\qquad \int 2t\,dt = 2\cdot\frac{t^2}{2}=t^2,\qquad \int 3t^2\,dt = 3\cdot\frac{t^3}{3}=t^3.
Somando as parcelas do lado direito e agrupando constantes de integração em uma só constante C, obtemos
\frac{x^2}{2} = t + t^2 + t^3 + C.

Passo 5

Simplificar a expressão e resolver para x. Multiplico ambos os lados por 2 para evitar frações:
x^2 = 2t + 2t^2 + 2t^3 + C',
onde C' = 2C é uma constante arbitrária real. Tomando raiz quadrada, a solução geral (em cada intervalo onde o lado direito tem sinal apropriado) é
x(t)=\pm\sqrt{\,2t + 2t^2 + 2t^3 + C'\,}.
Observações importantes para a prova e para uso prático:
  • O sinal \pm produz duas famílias (ramificações) de soluções; a escolha entre + ou - é feita por uma condição inicial, se houver.
  • A separação dividiu por x, então a solução obtida vale em intervalos onde x(t)\neq 0. A função identicamente zero não é solução dessa equação porque o lado direito não é zero em geral.
  • Para soluções reais, o radicando 2t+2t^2+2t^3+C' deve ser não negativo no intervalo considerado; para radicandos negativos surgiriam soluções complexas.

Resposta

x^2 = 2t + 2t^2 + 2t^3 + C\n
x(t) = \pm\sqrt{\,2t + 2t^2 + 2t^3 + C\,}

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